REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2016

Stereometria

Ostrosłupy

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa $5$, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podpowiedź:

Przyjmij oznaczenia zgodne z rysunkiem:
   Wskazówka //. ( pkt.)   586
$x$ - długość wysokości $OE$ trójkąta BED,
$h$ - wysokość ostrosłupa,
$b$ - długość krawędzi bocznej ostrosłupa,
$a$ - długość krawędzi podstawy ostrosłupa.
Miara kąta między dwiema ścianami bocznymi ostrosłupa jest równa mierze kąta $BED$.
Zauważ również, że trójkąty prostokątne $SOC$ i $OCE$, są podobne (mają wszystkie kąty równe).
REKLAMA

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia zgodne z rysunkiem:
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   586
$x$ - długość wysokości $OE$ trójkąta BED,
$h$ - wysokość ostrosłupa,
$b$ - długość krawędzi bocznej ostrosłupa,
$a$ - długość krawędzi podstawy ostrosłupa.
Miara kąta między dwiema ścianami bocznymi ostrosłupa jest równa mierze kąta $BED$.
Trójkąt $BED$ jest równoramienny, jego kąt przy wierzchołku ma miarę $120^\circ$, wysokość ma długość $x$, a podstawą jest przekątna kwadratu o boku $a$, ma więc długość $a\sqrt{2}$.
Z trójkąta $BOE$:
$\begin{split}
&\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{x}=\text{tg}60^\circ\\
&\frac{a\sqrt{2}}{2x}=\sqrt{3}\\
&2x=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\\
&x=\frac{a\sqrt{6}}{6}.
\end{split}$
Trójkąty prostokątne $SOC$ i $OCE$, są podobne (mają wszystkie kąt równe), stąd mamy:
$\begin{split}
\frac{5}{b}=\frac{x}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\
\frac{5}{b}=\frac{2x}{a\sqrt{2}}\\
\frac{5}{b}=\frac{2\frac{a\sqrt{6}}{6}}{a\sqrt{2}}\\
\frac{5}{b}=\frac{a\sqrt{6}}{3a\sqrt{2}}\\
b\sqrt{6}=15\sqrt{2}\\
b=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\
b=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}.
\end{split}$
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOC$:
$\begin{split}
\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+5^2=\left(5\sqrt{3}\right)^2\\
\frac{a^2}{2}+25=75\\
a^2=100\\
a=10.
\end{split}$
Objętość ostrosłupa $\begin{split}V=\frac{1}{3}a^2h=\frac{1}{3}\cdot 10^2\cdot 5=\frac{500}{3}=166\frac{2}{3}.\end{split}$

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa wynosi $\begin{split}166\frac{2}{3}.\end{split}$