REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2015 - licea

Stereometria

Ostrosłupy

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Podpowiedź:

Wykonaj rysunek i wprowadź oznaczenia:
   Wskazówka //. ( pkt.)   546
Bez trudu wyznaczysz $x$, a korzystając z twierdzenia cosinusów wyznaczysz $\cos\alpha$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek i wprowadźmy oznaczenia:
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   546
Z trójkąta $SDA$:
$\begin{split}a^2+(2a)^2=|AS|^2\\
|AS|^2=5a^2\\
|AS|=a\sqrt{5}.
\end{split}$

Z trójkąta $SAB$:
$\begin{split}
a^2+\left(a\sqrt{5}\right)^2=|BS|^2\\
|BS|^2=6a^2\\
|BS|=a\sqrt{6}.
\end{split}$
Trójkąty $SAB$ i $ABE$ są podobne i stąd:
$\begin{split}
\frac{x}{a}=\frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{6}}\\
x=a\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}
\end{split}$
Stosując w trójkącie $CAE$ twierdzenie cosinusów, otrzymujemy:
$\begin{split}
\left(a\sqrt{2}\right)^2=2x^2-2x^2\cos\alpha\\
2a^2=2x^2\left(1-\cos\alpha\right)\\
1-\cos\alpha=\frac{a^2}{x^2}\\
1-\cos\alpha=\frac{a^2}{a^2\cdot \frac{5}{6}}\\
1-\cos\alpha=\frac{6}{5}\\
\cos\alpha=-\frac{1}{5}
\end{split}$
Wyliczymy teraz $\sin\alpha$ ze ,,wzoru jedynkowego":
$\begin{split}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha=1-\left(-\frac{1}{5}\right)^2\\
\sin^2\alpha=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}\\
\sin\alpha=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}
\end{split}$

Odpowiedź:

$\begin{split}\sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}\end{split}$