REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - czerwiec 2014 (termin dodatkowy)

Stereometria

Ostrosłupy

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $25$. Ściany boczne $ABS$ i $BCS$ mają takie same pola, każde równe $250$. Ściany boczne $ADS$ i $CDS$ też mają jednakowe pola, każde równe $187,5$. Krawędzie boczne $AS$ i $CS$ mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podpowiedź:

Naszkicuj dany ostrosłup:

   Wskazówka //. ( pkt.)   516
Z równości krawędzi $AS$ i $CS$ wynika, że spodek $O$ wysokości ostrosłupa leży na przekątnej $BD$ podstawy.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Naszkicujmy dany ostrosłup:

   Rozwiązanie //. ( pkt.)   516
Z równości krawędzi $AS$ i $CS$ wynika, że spodek $O$ wysokości ostrosłupa leży na przekątnej $BD$ podstawy.
Oznaczmy przez $h_1$ długość wysokości $SE$ ściany $ASD$,a przez $h_2$ długość wysokości $SF$ ściany $BCS$.
Z trójkąta $ADS$: $\begin{split}
\frac{1}{2}\cdot 25\cdot h_1=187,5\\
h_1=\frac{187,5\cdot 2}{25}=15.
\end{split}$
Z trójkąta $BCS$: $\begin{split}
\frac{1}{2}\cdot 25\cdot h_2=250\\
h_2=\frac{250\cdot 2}{25}=20.
\end{split}$
Niech $|EO|=x$. Wtedy $|OF|=25-x. $ Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkątach prostokątnych $EOS$ i $FOS$ otrzymujemy:
$\begin{cases}\begin{split}
&H^2+x^2={h_1}^2\\
&H^2+(25-x)^2={h_2}^2
\end{split}\end{cases}$
Po odjęciu obu równań stronami otrzymujemy:
$\begin{split}
x^2-(25-x)^2={h_1}^2-{h_2}^2\\
x^2-\left(625-50x+x^2\right)={h_1}^2-{h_2}^2\\
-625+50x=15^2-20^2\\
50x=225-400+625\\
50x=450\\
x=9.
\end{split}$
Stąd
$\begin{split}
&H^2={h_1}^2-x^2\\
&H^2=15^2-9^2\\
&H^2=225-81=144\\
&H=12.
\end{split}$
Objętość ostrosłupa:
$\begin{split}
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 25^2\cdot 12=2500.
\end{split}$

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa wynosi 2500.