Wzór na pole ostrosłupa – definicja, obliczenia i przykłady

Ostrosłup to figura geometryczna, która jest jednym z podstawowych rodzajów brył przestrzennych. Jest to bryła, której podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany są trójkątami. W ostrosłupie każda z tych ścian ma wspólny wierzchołek, który jest nazywany wierzchołkiem ostrosłupa.

Cechy charakterystyczne ostrosłupa:

• Ma jedną podstawę, która jest wielokątem (np. trójkątem, kwadratem, pięciokątem itd.).
• Ściany boczne to trójkąty, których wierzchołki są połączone z wierzchołkiem ostrosłupa.
• Wysokość ostrosłupa to odległość od wierzchołka do podstawy, mierzona prostopadle.

Jak obliczyć pole ostrosłupa?

Aby obliczyć pole ostrosłupa, musimy rozróżnić dwa podstawowe elementy:

1. Pole powierzchni bocznej – suma pól ścian bocznych.
2. Pole powierzchni całkowitej – suma pól powierzchni bocznej i podstawy.

Wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa

Wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa zależy od tego, jakiego rodzaju wielokątem jest podstawa ostrosłupa. Dla ostrosłupa o wielokątnej podstawie pole powierzchni bocznej obliczamy za pomocą wzoru: Pb=12⋅p⋅hbP_b = \frac{1}{2} \cdot p \cdot h_bPb​=21​⋅p⋅hb​

Gdzie:

• PbP_bPb​ – pole powierzchni bocznej,
• ppp – obwód podstawy,
• hbh_bhb​ – wysokość ściany bocznej, czyli odległość od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy.

Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola powierzchni podstawy i powierzchni bocznej. Można to zapisać wzorem: Pc=Pp+PbP_c = P_p + P_bPc​=Pp​+Pb​

Gdzie:

• PcP_cPc​ – pole powierzchni całkowitej,
• PpP_pPp​ – pole powierzchni podstawy,
• PbP_bPb​ – pole powierzchni bocznej.

Jak obliczyć pole podstawy ostrosłupa?

Pole podstawy ostrosłupa zależy od rodzaju podstawy. Jeśli podstawa jest wielokątem regularnym, to pole można obliczyć za pomocą odpowiedniego wzoru:

1. Podstawa to kwadrat: Pp=a2P_p = a^2Pp​=a2 gdzie aaa to długość boku kwadratu.
2. Podstawa to trójkąt równoboczny: Pp=34⋅a2P_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2Pp​=43​​⋅a2 gdzie aaa to długość boku trójkąta równobocznego.
3. Podstawa to sześciokąt foremny: Pp=332⋅a2P_p = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2Pp​=233​​⋅a2 gdzie aaa to długość boku sześciokąta.
4. Podstawa to n-kąt foremny: Pp=n⋅a24⋅tan⁡(πn)P_p = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}Pp​=4⋅tan(nπ​)n⋅a2​ gdzie nnn to liczba boków, a aaa to długość boku podstawy.

Przykład obliczenia powierzchni ostrosłupa

Załóżmy, że mamy ostrosłup o kwadratowej podstawie, którego bok wynosi 5 cm. Wysokość ostrosłupa to 10 cm, a wysokość ściany bocznej wynosi 7 cm. Obliczmy pole powierzchni całkowitej.

1. Pole podstawy:
   Skoro podstawa to kwadrat, pole podstawy obliczamy jako: Pp=a2=52=25 cm2P_p = a^2 = 5^2 = 25 \text{ cm}^2Pp​=a2=52=25 cm2
2. Pole powierzchni bocznej:
   Obwód podstawy (kwadratu) to: p=4⋅5=20 cmp = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}p=4⋅5=20 cm Teraz obliczamy pole powierzchni bocznej: Pb=12⋅p⋅hb=12⋅20⋅7=70 cm2P_b = \frac{1}{2} \cdot p \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 = 70 \text{ cm}^2Pb​=21​⋅p⋅hb​=21​⋅20⋅7=70 cm2
3. Pole powierzchni całkowitej:
   Sumujemy pole podstawy i pole powierzchni bocznej: Pc=Pp+Pb=25+70=95 cm2P_c = P_p + P_b = 25 + 70 = 95 \text{ cm}^2Pc​=Pp​+Pb​=25+70=95 cm2

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi 95 cm².