Ciąg arytmetyczny – wzory, definicja i zastosowania
Ciąg arytmetyczny to jeden z podstawowych ciągów liczbowych w matematyce, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznacza to, że każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej wartości do poprzedniego wyrazu.
Definicja:
Ciąg (an)(a_n)(an) nazywamy arytmetycznym, jeśli istnieje stała liczba r, zwana różnicą ciągu, taka że:an+1=an+ra_{n+1} = a_n + ran+1=an+r
dla każdego n≥1n \geq 1n≥1.
Przykłady ciągów arytmetycznych:
- 2, 5, 8, 11, 14… (różnica r=3r = 3r=3)
- 10, 7, 4, 1, -2… (różnica r=−3r = -3r=−3)
- 100, 105, 110, 115… (różnica r=5r = 5r=5)
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Aby znaleźć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego, używamy wzoru ogólnego:an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r
Gdzie:
- ana_nan – nnn-ty wyraz ciągu,
- a1a_1a1 – pierwszy wyraz ciągu,
- rrr – różnica ciągu,
- nnn – numer wyrazu w ciągu.
Przykład obliczeń
Dany jest ciąg arytmetyczny: 3, 7, 11, 15, …
Znajdźmy dziesiąty wyraz:a10=3+(10−1)⋅4a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4a10=3+(10−1)⋅4a10=3+36=39a_{10} = 3 + 36 = 39a10=3+36=39
Dziesiąty wyraz tego ciągu to 39.
Suma ciągu arytmetycznego
Jeśli chcemy obliczyć sumę pierwszych nnn wyrazów ciągu arytmetycznego, korzystamy z następującego wzoru:Sn=n2⋅(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)Sn=2n⋅(a1+an)
lubSn=n2⋅[2a1+(n−1)r]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)r]Sn=2n⋅[2a1+(n−1)r]
Gdzie:
- SnS_nSn – suma pierwszych nnn wyrazów,
- a1a_1a1 – pierwszy wyraz ciągu,
- ana_nan – ostatni wyraz ciągu,
- nnn – liczba wyrazów,
- rrr – różnica ciągu.
Przykład obliczeń
Dany jest ciąg: 5, 10, 15, 20, 25…
Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów.
Najpierw obliczamy 6. wyraz:a6=5+(6−1)⋅5=5+25=30a_6 = 5 + (6-1) \cdot 5 = 5 + 25 = 30a6=5+(6−1)⋅5=5+25=30
Teraz obliczamy sumę:S6=62⋅(5+30)S_6 = \frac{6}{2} \cdot (5 + 30)S6=26⋅(5+30)S6=3⋅35=105S_6 = 3 \cdot 35 = 105S6=3⋅35=105
Suma pierwszych 6 wyrazów wynosi 105.
Właściwości ciągu arytmetycznego
1. Średnia arytmetyczna w ciągu
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}an=2an−1+an+1
Przykład: w ciągu 2, 6, 10, 14, 18 wartość 10 jest średnią 6 i 14.
2. Stała różnica ciągu
Jeśli znamy dowolne dwa wyrazy ciągu, możemy obliczyć różnicę rrr:r=am−anm−nr = \frac{a_m – a_n}{m – n}r=m−nam−an
gdzie ama_mam i ana_nan to dowolne dwa wyrazy ciągu.
3. Ciąg arytmetyczny jako funkcja liniowa
Każdy ciąg arytmetyczny można przedstawić jako funkcję liniową:f(n)=a1+(n−1)rf(n) = a_1 + (n-1)rf(n)=a1+(n−1)r
Jest to równanie prostej o współczynniku kierunkowym rrr.
Zastosowania ciągu arytmetycznego
1. Matematyka i analiza finansowa
- Obliczanie odsetek prostych w bankowości.
- Prognozowanie wzrostu oszczędności w równych ratach.