Funkcja kwadratowa – klucz do zrozumienia parabol i jej zastosowań

1. Wprowadzenie do funkcji kwadratowej

Definicja funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to jedno z podstawowych pojęć matematycznych, które znajdują zastosowanie zarówno w naukach ścisłych, jak i w codziennym życiu. Jest to funkcja przyporządkowująca każdej liczbie x wartość y, zgodnie z regułą określoną wzorem:y=ax2+bx+c,y = ax^2 + bx + c,y=ax2+bx+c,

gdzie:

• aaa, bbb, ccc są współczynnikami liczbowymi,.

Funkcja kwadratowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wielomianowej, ponieważ jej najwyższy stopień wynosi dwa. To oznacza, że jej wykresem jest krzywa zwana parabolą.

Podstawowe elementy funkcji kwadratowej

Aby zrozumieć, jak działa funkcja kwadratowa, należy poznać znaczenie jej współczynników:

• Współczynnik aaa: Odpowiada za „kształt” paraboli. Jeśli a>0a > 0a>0, ramiona paraboli są skierowane w górę, co oznacza, że funkcja osiąga minimum. Jeśli a<0a < 0a<0, ramiona są skierowane w dół, co wskazuje na istnienie maksimum.
• Współczynnik bbb: Wpływa na przesunięcie paraboli wzdłuż osi xxx i determinuje położenie wierzchołka paraboli w poziomie.
• Współczynnik ccc: Oznacza miejsce przecięcia paraboli z osią yyy i wskazuje, jaka jest wartość funkcji dla x=0x = 0x=0.

Przykład:
Dla funkcji y=2×2+3x−5y = 2x^2 + 3x – 5y=2×2+3x−5, współczynniki mają następujące znaczenie:

• a=2a = 2a=2 (parabola skierowana ramionami w górę, ponieważ a>0a > 0a>0),
• b=3b = 3b=3 (przesunięcie w poziomie),
• c=−5c = -5c=−5 (punkt przecięcia z osią yyy: y=−5y = -5y=−5 dla x=0x = 0x=0).

Wykres funkcji kwadratowej: parabola

Wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola, jest symetryczną krzywą, której kształt zależy od wartości współczynników aaa, bbb i ccc. Kluczowym punktem paraboli jest jej wierzchołek – punkt, w którym krzywa zmienia kierunek. Symetria wykresu względem osi przechodzącej przez wierzchołek sprawia, że analiza funkcji kwadratowej jest stosunkowo prosta.

Symetria paraboli jest jedną z jej najważniejszych cech. Jeśli znamy położenie wierzchołka i jednego z punktów na paraboli, możemy łatwo znaleźć odpowiadający mu punkt symetryczny po drugiej stronie osi symetrii.

Przykładowa funkcja kwadratowa

Rozważmy funkcję y=x2−4x+3y = x^2 – 4x + 3y=x2−4x+3. W tym przypadku:

• a=1a = 1a=1 (ramiona paraboli są skierowane w górę),
• b=−4b = -4b=−4 (przesunięcie wzdłuż osi xxx),
• c=3c = 3c=3 (punkt przecięcia z osią yyy).

Dla tej funkcji możemy znaleźć miejsca zerowe (punkty, w których y=0y = 0y=0), korzystając z faktoryzacji lub wzoru kwadratowego:x2−4x+3=(x−3)(x−1).x^2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1).x2−4x+3=(x−3)(x−1).

Miejsca zerowe to x=1x = 1x=1 i x=3x = 3x=3.

Znaczenie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to nie tylko matematyczna ciekawostka, ale również narzędzie o szerokim zastosowaniu w naukach przyrodniczych, inżynierii, ekonomii i innych dziedzinach. Z jej pomocą można modelować zjawiska fizyczne, takie jak:

• ruch jednostajnie przyspieszony (np. rzut pionowy lub poziomy),
• analiza maksymalizacji i minimalizacji w ekonomii,
• projektowanie konstrukcji o kształcie parabolicznym, takich jak mosty czy anteny satelitarne.

Podstawowe pojęcia związane z funkcją kwadratową

1. Miejsce zerowe funkcji: Punkt, w którym wartość funkcji wynosi zero (y=0y = 0y=0). Miejsca zerowe są rozwiązaniami równania kwadratowego ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0.
2. Wierzchołek paraboli: Punkt, w którym funkcja osiąga wartość maksymalną lub minimalną. Współrzędne wierzchołka można obliczyć ze wzoru:

xw=−b2a,yw=f(xw).x_w = -\frac{b}{2a}, \quad y_w = f(x_w).xw​=−2ab​,yw​=f(xw​).

3. Dyskryminanta (Δ\DeltaΔ): Wyrażenie Δ=b2−4ac\Delta = b^2 – 4acΔ=b2−4ac pozwala określić liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej:
   • Δ>0\Delta > 0Δ>0: dwa miejsca zerowe,
   • Δ=0\Delta = 0Δ=0: jedno miejsce zerowe (parabola styczna do osi xxx),
   • Δ<0\Delta < 0Δ<0: brak miejsc zerowych (parabola nie przecina osi xxx).

Historia funkcji kwadratowej

Początki funkcji kwadratowej sięgają starożytności. Babilończycy jako pierwsi rozwiązywali równania kwadratowe, choć ich metody były geometryczne. Grecki matematyk Euklides opisał kwadraty liczb w kontekście geometrii, co można uznać za początek analizy kwadratowej. W średniowieczu Al-Chwarizmi, uznawany za ojca algebry, systematycznie analizował równania kwadratowe, co przyczyniło się do dalszego rozwoju matematyki.

Współczesne podejście do funkcji kwadratowej, z jej graficzną interpretacją jako paraboli, rozwinęło się w epoce renesansu dzięki pracom matematyków takich jak René Descartes. Ujednolicenie metod rozwiązywania równań kwadratowych, w tym wzoru kwadratowego, stało się kluczowym krokiem w edukacji matematycznej.

Przykłady funkcji kwadratowych w życiu codziennym

1. Ruch ciał w polu grawitacyjnym: Trajektoria piłki rzuconej w powietrze tworzy parabolę.
2. Optymalizacja: Przedsiębiorstwa wykorzystują funkcje kwadratowe do maksymalizacji zysków lub minimalizacji kosztów.
3. Konstrukcje inżynieryjne: Konstrukcje paraboliczne, takie jak mosty czy reflektory, opierają się na właściwościach funkcji kwadratowych.

2. Analiza i wykres funkcji kwadratowej (z tłumaczeniem krok po kroku)

W tej części artykułu nauczymy się analizować funkcję kwadratową na przykładach, krok po kroku. Dowiesz się, jak znaleźć wierzchołek paraboli, miejsca zerowe oraz inne kluczowe elementy, które mogą pojawić się na maturze.

Co to jest funkcja kwadratowa?

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem:y=ax2+bx+c,y = ax^2 + bx + c,y=ax2+bx+c,

gdzie:

• aaa, bbb, ccc są liczbami, zwanymi współczynnikami,
• a≠0a \neq 0a=0 (inaczej nie byłaby kwadratowa, lecz liniowa).

Ważne pojęcia:

1. Wykres: Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola – symetryczna krzywa.
2. Oś symetrii: To pionowa linia przechodząca przez wierzchołek paraboli.
3. Wierzchołek: To najwyższy (dla a<0a < 0a<0) lub najniższy punkt paraboli (dla a>0a > 0a>0).
4. Miejsca zerowe: To punkty, w których parabola przecina oś xxx (y=0y = 0y=0).

Jak analizować funkcję kwadratową?

Przykład 1. Znajdowanie wierzchołka paraboli

Rozważ funkcję y=2×2−4x+1y = 2x^2 – 4x + 1y=2×2−4x+1. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli.

Krok 1. Wzór na współrzędną xwx_wxw​ wierzchołka:xw=−b2a.x_w = -\frac{b}{2a}.xw​=−2ab​.

Tutaj:

• a=2a = 2a=2,
• b=−4b = -4b=−4,
• c=1c = 1c=1 (na razie nie potrzebujemy ccc).

Podstawiamy dane:xw=−−42⋅2=−−44=1.x_w = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1.xw​=−2⋅2−4​=−4−4​=1.

Krok 2. Obliczamy ywy_wyw​:
Podstawiamy xw=1x_w = 1xw​=1 do wzoru funkcji y=2×2−4x+1y = 2x^2 – 4x + 1y=2×2−4x+1:yw=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1.y_w = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = 2 – 4 + 1 = -1.yw​=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1.

Odpowiedź:
Wierzchołek paraboli ma współrzędne (1,−1)(1, -1)(1,−1).

Przykład 2. Znajdowanie miejsc zerowych

Znajdź miejsca zerowe funkcji y=x2−6x+5y = x^2 – 6x + 5y=x2−6x+5.

Krok 1. Zapisz równanie:
Miejsca zerowe to punkty, gdzie y=0y = 0y=0, czyli:x2−6x+5=0.x^2 – 6x + 5 = 0.x2−6x+5=0.

Krok 2. Oblicz dyskryminantę (Δ\DeltaΔ):Δ=b2−4ac,\Delta = b^2 – 4ac,Δ=b2−4ac,

gdzie a=1a = 1a=1, b=−6b = -6b=−6, c=5c = 5c=5. Liczymy krok po kroku:Δ=(−6)2−4(1)(5)=36−20=16.\Delta = (-6)^2 – 4(1)(5) = 36 – 20 = 16.Δ=(−6)2−4(1)(5)=36−20=16.

Krok 3. Zastosuj wzory kwadratowe:
Miejsca zerowe wyznaczamy ze wzoru:x=−b±Δ2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.x=2a−b±Δ​​.

Podstawiamy:x=−(−6)±162(1).x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2(1)}.x=2(1)−(−6)±16​​.

Rozwijamy zapis:

• −(−6)=6-(-6) = 6−(−6)=6,
• 16=4\sqrt{16} = 416​=4, więc:

x=6±42.x = \frac{6 \pm 4}{2}.x=26±4​.

Krok 4. Oblicz dwa przypadki (+++ i −-−):

1. x1=6−42=22=1,x_1 = \frac{6 – 4}{2} = \frac{2}{2} = 1,x1​=26−4​=22​=1,
2. x2=6+42=102=5.x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5.x2​=26+4​=210​=5.

Odpowiedź:
Miejsca zerowe funkcji to x1=1x_1 = 1×1​=1 i x2=5x_2 = 5×2​=5.

Przykład 3. Punkt przecięcia z osią yyy

Znajdź punkt przecięcia paraboli y=−x2+4x+5y = -x^2 + 4x + 5y=−x2+4x+5 z osią yyy.

Krok 1. Ustal wartość x=0x = 0x=0:
Punkt przecięcia z osią yyy zawsze ma x=0x = 0x=0. Podstawiamy x=0x = 0x=0 do wzoru funkcji:y=−(0)2+4(0)+5=5.y = -(0)^2 + 4(0) + 5 = 5.y=−(0)2+4(0)+5=5.

Odpowiedź:
Punkt przecięcia z osią yyy to (0,5)(0, 5)(0,5).

Jak narysować wykres funkcji kwadratowej?

Przykład 4. Rysowanie wykresu funkcji y=−x2+4x−3y = -x^2 + 4x – 3y=−x2+4x−3

Krok 1. Znajdź wierzchołek paraboli:xw=−b2a=−42(−1)=−4−2=2.x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2.xw​=−2ab​=−2(−1)4​=−−24​=2.

Podstawiamy xw=2x_w = 2xw​=2 do równania, aby znaleźć ywy_wyw​:yw=−(2)2+4(2)−3=−4+8−3=1.y_w = -(2)^2 + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1.yw​=−(2)2+4(2)−3=−4+8−3=1.

Wierzchołek to (2,1)(2, 1)(2,1).

Krok 2. Znajdź miejsca zerowe:
Rozwiązujemy równanie −x2+4x−3=0-x^2 + 4x – 3 = 0−x2+4x−3=0. Przekształcamy:x2−4x+3=0.x^2 – 4x + 3 = 0.x2−4x+3=0.

Obliczamy dyskryminantę:Δ=(−4)2−4(1)(3)=16−12=4.\Delta = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4.Δ=(−4)2−4(1)(3)=16−12=4.

Wyznaczamy miejsca zerowe:x1=−(−4)−42(1)=4−22=1,x2=−(−4)+42(1)=4+22=3.x_1 = \frac{-(-4) – \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 – 2}{2} = 1, x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3.x1​=2(1)−(−4)−4​​=24−2​=1,x2​=2(1)−(−4)+4​​=24+2​=3.

Miejsca zerowe to x1=1x_1 = 1×1​=1, x2=3x_2 = 3×2​=3.

Krok 3. Znajdź punkt przecięcia z osią yyy:
Podstawiamy x=0x = 0x=0:y=−(0)2+4(0)−3=−3.y = -(0)^2 + 4(0) – 3 = -3.y=−(0)2+4(0)−3=−3.

Punkt przecięcia to (0,−3)(0, -3)(0,−3).

Krok 4. Narysuj wykres:

1. Zaznacz wierzchołek (2,1)(2, 1)(2,1).
2. Zaznacz miejsca zerowe (1,0)(1, 0)(1,0) i (3,0)(3, 0)(3,0).
3. Zaznacz punkt przecięcia z osią yyy: (0,−3)(0, -3)(0,−3).
4. Połącz punkty w kształt paraboli (ramiona skierowane w dół, bo a=−1a = -1a=−1).

Podsumowanie analizy

1. Zawsze zaczynaj od wzoru funkcji kwadratowej.
2. Znajdź kluczowe punkty:
   • Wierzchołek,
   • Miejsca zerowe (jeśli istnieją),
   • Punkt przecięcia z osią yyy.
3. Na ich podstawie narysuj wykres.

Regularne ćwiczenie takich przykładów pomoże Ci dobrze zrozumieć funkcję kwadratową i przygotować się na maturę! 😊

3. Zastosowanie funkcji kwadratowej w praktyce – zadania krok po kroku

Funkcja kwadratowa jest kluczowym tematem na egzaminie maturalnym z matematyki w Polsce. Obejmuje zarówno zadania rachunkowe, jak i geometryczne. W tej części skupimy się na rozwiązywaniu typowych zadań maturalnych – wyznaczaniu wierzchołka, miejsc zerowych, punktów przecięcia z osiami oraz na interpretacji wyników w praktycznych kontekstach.

Wymagania maturalne

Na maturze z matematyki od Ciebie oczekuje się, że będziesz umiał/a:

1. Rozwiązywać równania kwadratowe.
2. Obliczać wierzchołek paraboli i interpretować go.
3. Wyznaczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
4. Analizować wykresy funkcji i znajdować punkty przecięcia z osiami.
5. Stosować funkcję kwadratową w praktycznych zadaniach, np. optymalizacji.

Przykłady i rozwiązania

Zadanie 1. Znajdowanie wierzchołka paraboli

Dana jest funkcja kwadratowa:y=−x2+4x+5.y = -x^2 + 4x + 5.y=−x2+4x+5.

Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli i określ, czy jest to punkt maksymalny, czy minimalny.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Współrzędna xwx_wxw​:
   Wierzchołek znajduje się w punkcie:xw=−b2a.x_w = -\frac{b}{2a}.xw​=−2ab​.Podstawiamy:
   • a=−1a = -1a=−1,
   • b=4b = 4b=4, więc:
   xw=−42(−1)=−4−2=2.x_w = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2.xw​=−2(−1)4​=−−24​=2.
2. Współrzędna ywy_wyw​:
   Aby znaleźć ywy_wyw​, podstawiamy xw=2x_w = 2xw​=2 do wzoru funkcji:yw=−(2)2+4(2)+5=−4+8+5=9.y_w = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.yw​=−(2)2+4(2)+5=−4+8+5=9.
3. Interpretacja:
   Ponieważ a=−1<0a = -1 < 0a=−1<0, parabola jest skierowana ramionami w dół, co oznacza, że wierzchołek to punkt maksymalny.

Odpowiedź:
Wierzchołek paraboli to (2,9)(2, 9)(2,9). Jest to punkt maksymalny.

Zadanie 2. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji

Znajdź miejsca zerowe funkcji kwadratowej:y=2×2−8x+6.y = 2x^2 – 8x + 6.y=2×2−8x+6.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Równanie kwadratowe:
   Miejsca zerowe to punkty, w których y=0y = 0y=0, więc:2×2−8x+6=0.2x^2 – 8x + 6 = 0.2×2−8x+6=0.
2. Dyskryminanta (Δ\DeltaΔ):
   Aby rozwiązać równanie, najpierw obliczamy dyskryminantę:Δ=b2−4ac.\Delta = b^2 – 4ac.Δ=b2−4ac.Tutaj:
   • a=2a = 2a=2,
   • b=−8b = -8b=−8,
   • c=6c = 6c=6, więc:
   Δ=(−8)2−4(2)(6)=64−48=16.\Delta = (-8)^2 – 4(2)(6) = 64 – 48 = 16.Δ=(−8)2−4(2)(6)=64−48=16.
3. Wzory kwadratowe:
   Korzystamy z wzoru na miejsca zerowe:x=−b±Δ2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.x=2a−b±Δ​​.Podstawiamy dane:x=−(−8)±162⋅2.x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}.x=2⋅2−(−8)±16​​.Obliczamy krok po kroku:
   • −(−8)=8-(-8) = 8−(−8)=8,
   • 16=4\sqrt{16} = 416​=4, więc:
   x=8±44.x = \frac{8 \pm 4}{4}.x=48±4​.
4. Dwa rozwiązania (+++ i −-−):
   • x1=8−44=44=1,x_1 = \frac{8 – 4}{4} = \frac{4}{4} = 1,x1​=48−4​=44​=1,
   • x2=8+44=124=3.x_2 = \frac{8 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3.x2​=48+4​=412​=3.

Odpowiedź:
Miejsca zerowe funkcji to x1=1x_1 = 1×1​=1 i x2=3x_2 = 3×2​=3.

Zadanie 3. Punkt przecięcia z osią yyy

Znajdź punkt przecięcia funkcji y=3×2−5x+7y = 3x^2 – 5x + 7y=3×2−5x+7 z osią yyy.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Wartość x=0x = 0x=0:
   Punkt przecięcia z osią yyy to zawsze wartość funkcji dla x=0x = 0x=0. Podstawiamy x=0x = 0x=0 do wzoru: y=3(0)2−5(0)+7=7.y = 3(0)^2 – 5(0) + 7 = 7.y=3(0)2−5(0)+7=7.

Odpowiedź:
Punkt przecięcia z osią yyy to (0,7)(0, 7)(0,7).

Zadanie 4. Optymalizacja

Długość prostokąta wynosi o 6 cm więcej niż jego szerokość. Pole prostokąta wynosi 160 cm². Znajdź wymiary prostokąta.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Zapisz dane jako równanie kwadratowe:
   Niech xxx oznacza szerokość prostokąta (w cm). Długość prostokąta wynosi x+6x + 6x+6. Pole prostokąta to:x(x+6)=160.x(x + 6) = 160.x(x+6)=160.Rozwijamy równanie:x2+6x−160=0.x^2 + 6x – 160 = 0.x2+6x−160=0.
2. Oblicz dyskryminantę (Δ\DeltaΔ):Δ=b2−4ac=62−4(1)(−160)=36+640=676.\Delta = b^2 – 4ac = 6^2 – 4(1)(-160) = 36 + 640 = 676.Δ=b2−4ac=62−4(1)(−160)=36+640=676.
3. Rozwiąż równanie kwadratowe:
   Korzystamy z wzoru kwadratowego:x=−b±Δ2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.x=2a−b±Δ​​.Podstawiamy dane:x=−6±6762(1)=−6±262.x = \frac{-6 \pm \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 26}{2}.x=2(1)−6±676​​=2−6±26​.Obliczamy:
   • x1=−6+262=202=10,x_1 = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10,x1​=2−6+26​=220​=10,
   • x2=−6−262=−322=−16x_2 = \frac{-6 – 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16×2​=2−6−26​=2−32​=−16 (odrzucamy, bo wymiary nie mogą być ujemne).
4. Długość prostokąta:
   Długość wynosi:x+6=10+6=16 cm.x + 6 = 10 + 6 = 16 \, \text{cm}.x+6=10+6=16cm.

Odpowiedź:
Szerokość prostokąta to 101010 cm, a długość 161616 cm.

Podsumowanie: Wskazówki dla maturzysty

1. Zawsze zapisuj równania i wzory jasno i przejrzyście.
2. W przypadku zadań rachunkowych sprawdzaj obliczenia krok po kroku.
3. Pamiętaj, aby analizować wyniki – np. odrzucić rozwiązania niepasujące do kontekstu.
4. Regularnie ćwicz różne typy zadań, w tym również te z treścią, które wymagają stworzenia równania kwadratowego.

Powodzenia na maturze! 😊

• About
• Latest Posts

Krzysztof Nowakowski

Edukacyjny czarodziej, który z trudnych zagadnień potrafi wyczarować proste rozwiązania. Jego misją jest pokazać, że nauka to nie tylko obowiązek, ale także przygoda pełna odkryć i satysfakcji. Absolwent literackiej akademii wyobraźni, pasjonat twórczego myślenia i mistrz w tłumaczeniu zawiłych reguł języka polskiego na codzienny język uczniów.

Wierzy, że każdy test to jak zdobywanie szczytu – wystarczy dobra mapa i odrobina odwagi. Prywatnie miłośnik detektywistycznych zagadek, które nieustannie inspirują go do znajdowania logicznych i sprytnych odpowiedzi na pytania egzaminacyjne. Na ZdajmyRazem.pl dzieli się swoimi trikami, by przygotowanie do egzaminów było jak najlepiej napisany scenariusz – z zaskakującym, ale zawsze pozytywnym zakończeniem!

Latest posts by Krzysztof Nowakowski (see all)

• Zaimek w języku polskim: Kluczowa część mowy i jej funkcje w komunikacji - 5 grudnia, 2024
• Fonetyka w języku polskim: Klucz do poprawnej wymowy i rozumienia mowy - 5 grudnia, 2024
• Przydawka – rodzaje, funkcje i zastosowanie w języku polskim - 4 grudnia, 2024