REKLAMA
REKLAMA

Wykresy funkcji kwadratowych (2)

Wykresy funkcji kwadratowych (2)

Jeżeli dane są trzy dowolne liczby $a,b,c$, przy czym liczba $a\neq 0$, to przyporządkowanie dowolnej liczbie $x$ liczby $y=ax^2+bx+c$, nazywamy funkcją kwadratową.
Zapis $f(x)=ax^2+bx+c$ nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, a wyrażenie $ax^2+bx+c$ nazywamy trójmianem kwadratowym o współczynnikach $a,b,c.$
Z trójmianem kwadratowym wiąże się liczba $\Delta=b^2-4ac$, którą nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.
Zauważmy, że
$\begin{gather*}
ax^2+bx+c=a\left(x-p\right)^2+q,
\end{gather*}$ gdzie $p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Mówimy, że $a\left(x-p\right)^2+q$ jest postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$.
Zapis $f(x)=a\left(x-p\right)^2+q$ nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.
Jak łatwo zauważyć, wykres tej funkcji otrzymamy przesuwając wykres funkcji $f(x)=ax^2$ o wektor $[p,q]$.
Przykład.
Naszkicujmy wykres funkcji $f(x)=3x^2-12x+9$.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego o współczynnikach
$a=3,b=-12,c=9$
$\begin{split}
\Delta = b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 9=144-108=36.
\end{split}$
Mamy zatem
$\begin{split}
p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-12)}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2,\quad q=\frac{-\Delta}{4a}= \frac{-36}{4\cdot 3}=\frac{-36}{12}=-3
\end{split}$
Funkcja kwadratowa $f(x)=3x^2-12x+9$, przyjmuje więc postać kanoniczną
$f(x)=3\left(x-2\right)^2-3$.
Wykres tej funkcji otrzymamy przesuwając parabolę $y=3x^2$ o wektor $[2,-3]$.
 Funkcje Funkcja kwadratowa Teoria 04/04/002 170. ( pkt.)   289


Podsumowując,
Parabola $y=ax^2+bx+c$ powstaje z paraboli $y=ax^2$ w wyniku przesunięcia o wektor $[p,q]=\left[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right]$.
Wierzchołkiem paraboli $y=ax^2+bx+c$ jest punkt $W=\left(x_W,y_W\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$.
Parabola $y=ax^2+bx+c$ ma ramiona skierowane ku górze, gdy $a>0$, a ku dołowi gdy $a<0$.
Parabolę $y=ax^2+bx+c$ można zawsze zapisać w postaci kanonicznej $y=a(x-p)^2+q$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}, \ \ q=-\frac{\Delta}{4a}, \ \ \Delta=b^2-4ac$.