Weźmy ciąg liczb, $a_n,a_{n-1},\dots, a_2,a_1,a_0$, przy czym załóżmy, ze liczba $a_n\neq0$. Funkcję $W$ określoną dla każdego $x\in\mathbb{R}$ wzorem$$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$$nazywamy wielomianem $n-$tego stopnia. Liczby $a_n,a_{n-1},\dots, a_2,a_1,a_0$ nazywamy współczynnikami wielomianu $W(x)$ przy czym liczbę $a_0$ nazywamy również wyrazem wolnym tego wielomianu.
Wielomiany stopnia pierwszego nazywamy dwumianami, a wielomiany stopnia drugiego trójmianami kwadratowymi lub krótko trójmianami.
Np.:$ W(x)= -2x^7-4x^6 +\frac{1}{2}x^3-x^2-x+\pi$ jest wielomianem siódmego stopnia.
Wielomian $P(x)=x^2-3x+7 $ jest trójmianem kwadratowym, a wielomian $Q(x)=3x-7$ jest dwumianem.

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ nazywamy każdą liczbę $a$ taką, że $W(a)=0$.
Wielomian $n-$tego stopnia ma co najwyżej $n$ pierwiastków.

Mówimy, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)$. Piszemy wtedy $\begin{gather*}\frac{W(x)}{P(x)}=Q(x).\end{gather*}$

Wielomian $R(x)$ nazywamy resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$, jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$ że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x)$ i stopień wielomianu $R(x)$ jest mniejszy od stopnia wielomianu $P(x)$.
W szczególności liczba $c$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $ax+b$ jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)=Q(x)\cdot (ax+b)+c$.

Resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest liczba równa $W(a)$. Oznacza to, że istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)= Q(x)\cdot (x-a)+W(a)$.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$.

Jeżeli wielomian $W(x)$ ma całkowite współczynniki, to jego pierwiastki całkowite różne od zera (o ile istnieją), są dzielnikami wyrazu wolnego.

Jeżeli wielomian $n-$tego stopnia $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$ ma całkowite współczynniki, to każdy jego pierwiastek wymierny, różny od zera można przedstawić w postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$, a $q$ jest dzielnikiem wyrazu $a_n$

Wielomian $W(x)= 3x^4-2x^3+3x^2-x+2$, jeżeli ma pierwiastki całkowite, to jedynie w zbiorze $\left\{-1,1,2,-2\right\}$. Jeżeli ma pierwiastki wymierne to są one w zbiorze $\left\{-1,1,2,-2,\frac{-1}{3}, \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3}\right\}$.