REKLAMA
REKLAMA

Układy równań liniowych.

Układy równań liniowych

Układ równań
$\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases}$
nazywamy układem równań liniowych o niewiadomych (zmiennych) x i y.
Liczbę $W=\left|\begin{split}&a_1&b_1\\ &a_2&b_2 \end{split}\right|=a_1b_2-b_1a_2$ nazywamy wyznacznikiem głównym tego układu równań.
Liczbę $W_x=\left|\begin{split} &c_1&b_1\\ &c_2&b_2 \end{split}\right|=c_1b_2-b_1c_2$ nazywamy wyznacznikiem zmiennej $x$.
Liczbę $W_y=\left|\begin{split}&a_1 &c_1\\ &a_2&c_2 \end{split}\right|=a_1c_2-c_1a_2$ nazywamy wyznacznikiem zmiennej $y$.
1. Układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $W\neq0$. Rozwiązaniem układu równań jest w tym przypadku dokładnie jedna para liczb
\begin{gather*}\begin{cases}
x=\frac{W_x}{W}\\
\ \\
y=\frac{W_y}{W}.
\end{cases}\end{gather*}
Geometrycznie, proste $a_1x+b_1y=c_1$ oraz $a_2x+b_2y=c_2$ przecinają sie w punkcie o współrzędnych $\begin{gather*}\left(\frac{W_x}{W},\frac{W_y}{W}\right),\end{gather*}$
2. Układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $W=0 \wedge W_x=0 \wedge W_y=0$. Rozwiązaniem układu równań jest w tym przypadku nieskończenie wiele par liczb.
Geometrycznie, proste $a_1x+b_1y=c_1$ oraz $a_2x+b_2y=c_2$ pokrywają się.
3. Układ równań liniowych nie ma rozwiązań (jest układem równań sprzecznych) wtedy i tylko wtedy, gdy $W=0 \wedge \left(W_x\neq0 \vee W_y\neq0\right)$.
Geometrycznie, proste $a_1x+b_1y=c_1$ oraz $a_2x+b_2y=c_2$ są równoległe.

Przykłady

Przykład 1.
Rozwiążmy układ równań
$\begin{gather*}\begin{cases}
2x+y=1\\
-x-5y=4
\end{cases}\end{gather*}$

$W=\left|\begin{split}
&2\ \ &1\\
-&1-&5
\end{split}\right|=2\cdot (-5)-1\cdot (-1)=-10+1=-9.$

$W_x=\left|\begin{split}
&1&1\\
&4-&5
\end{split}\right|=1\cdot (-5)-1\cdot 4=-5-4=-9.$

$W_y=\left|\begin{split}
&2\ \ &1\\
-&1&4
\end{split}\right|=2\cdot4-1\cdot (-1)=8+1=9.$

Ponieważ $W\neq0$, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
$\begin{gather*}\begin{cases}
x=\frac{W_x}{W}=\frac{-9}{-9}=1\\
y=\frac{W_y}{W}=\frac{9}{-9}=-1
\end{cases}\end{gather*}$

Geometrycznie:
Przekształćmy równania obu prostych do postaci kierunkowej
$\begin{gather*}\begin{cases}
y=-2x+1\\
y=-\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}
\end{cases}\end{gather*}$
Prosta $y=-2x+1$ przechodzi przez punkty $(0,1)$ i $(1,-1)$.
Prosta $y=-\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}$ przechodzi przez punkty $(1,-1)$ i $(-4,0)$.
Wykonajmy rysunek
 Równania i nierówności Układy równań liniowych Teoria 03/05/001 150. ( pkt.)   314

Przykład 2.
Rozpatrzmy układ równań
$\begin{gather*}\begin{cases}
x-y=2\\
-2x+2y=-4
\end{cases}\end{gather*}$

$W=\left|\begin{split}
&1\ \ -&1\\
-&2&2
\end{split}\right|=1\cdot 2-(-1)\cdot (-2)=2-2=0.$

$W_x=\left|\begin{split}
&2-&1\\
-&4&2
\end{split}\right|=2\cdot 2-(-1)\cdot (-4)=4-4=0.$

$W_y=\left|\begin{split}
&1\ \ &2\\
-&2-&4
\end{split}\right|=1\cdot(-4)-2\cdot (-2)=-4-(-4)=0.$

$W=W_x=W_y=0$, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązaniem tego układu równań jest każda para liczb postaci
$\begin{split}\begin{cases}
x, \ \ \ \text{ gdzie }x\in\mathcal{R}\\
y=x-2
\end{cases}\end{split}$,
np.
$\begin{cases}
x=1\\
y=-1,
\end{cases}$ $\begin{cases}x=-3\\ y=-5,\end{cases}$ $\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{3}{2}\dots\end{cases}$

Geometrycznie:
Równania obu prostych $x-y=2$ i $-2x+2y=-4$ można doprowadzić do tej samej postaci kierunkowej $y=x-2$, zatem obie proste pokrywają się.
 Równania i nierówności Układy równań liniowych Teoria 03/05/001 150. ( pkt.)   315

Przykład 3.
Przeanalizujmy układ równań
$\begin{gather*}\begin{cases}
2x+y=1\\
-x-\frac{1}{2}y=-2
\end{cases}\end{gather*}$

$W=\left|\begin{split}
&2\ \ &1\\
-&1-&\frac{1}{2}
\end{split}\right|=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) -1\cdot (-1)=-1+1=0.$

$W_x=\left|\begin{split}
&1&1\\
-&2-&\frac{1}{2}
\end{split}\right|=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) -1\cdot(- 2)=-\frac{1}{2}+2=-\frac{3}{2}.$

$W_y=\left|\begin{split}
&2\ \ &1\\
-&1-&2
\end{split}\right|=2\cdot(-2)-1\cdot (-1)=-4+1=-3.$

$W=0,W_x\neq0, W_y\neq0$, zatem układ nie ma rozwiązań.

Geometrycznie:
Przekształćmy równania obu prostych do postaci kierunkowej
$\begin{gather*}\begin{cases}
y=-2x+1\\
y=-2x+4
\end{cases}\end{gather*}$
Prosta $y=-2x+1$ przechodzi przez punkty $(0,1)$ i $(2,-3)$.
Prosta $y=-2x+4$ przechodzi przez punkty $(0,4)$ i $(2,0)$.
Wykonajmy rysunek
 Równania i nierówności Układy równań liniowych Teoria 03/05/001 150. ( pkt.)   316