Równania kwadratowe


Równanie $ax^2+bx+c =0$, gdzie $a\neq0$, nazywamy równaniem kwadratowym.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych.
W celu rozwiązania równania kwadratowego $ax^2+bx+c=0$, najpierw liczymy wyróżnik $\Delta$ trójmianu kwadratowego występującego po lewej stronie równania, ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$.
Mamy 3 możliwości:
$\quad \Delta <0$, wtedy równanie nie ma rozwiązań
$\quad \Delta =0$, wtedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem $\begin{gather*}x_0=\frac{-b}{2a}\end{gather*}$
$\quad \Delta>0$, wtedy równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dane wzorami $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$
Przykład 1. Rozwiąż równanie $x^2-x+2=-2x+8$.
Doprowadzamy do postaci $ax^2+bx+c=0$ przenosząc wszystko z prawej strony na lewą (pamiętając o zmianie znaków)
$x^2-x+2+2x-8=0$
$x^2+x-6=0$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe o współczynnikach $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Liczymy wyróżnik $\begin{gather*}\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki
$\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\end{gather*}$
Równanie ma dwa rozwiązania: $x_1=-3\ x_2=2$.
Przykład 2. Rozwiąż równanie $2x^2-8x+8=0$
Mamy równanie kwadratowe o współczynnikach $a=2$, $b=-8$, $c=8$.
Liczymy wyróżnik $\begin{gather*}\Delta=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 8=64-64=0\end{gather*}$.
$\Delta=0$, więc jest jedno rozwiązanie
$\begin{gather*}x_0=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-(-8)}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2\end{gather*}$
Równanie ma jedno rozwiązanie: $x_0=2$.
Przykład 3. Rozwiąż równanie $x^2-3x+5=0$
Mamy równanie kwadratowe o współczynnikach $a=1$, $b=-3$, $c=5$.
Liczymy wyróżnik $\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11\end{gather*}$.
$\Delta<0$, więc to równanie nie ma rozwiązań.


2. Równanie kwadratowe postaci $ax^2+bx=0 $ (współczynnik c=0).
W tym przypadku nie ma potrzeby liczenia wyróżnika $\Delta$.
Postępujemy następująco:
$\begin{split}
ax^2+bx&=0\\
x(ax+b)&=0\\
x=0\ &\vee\ ax+b=0\\
&\quad x=-\frac{b}{a}
\end{split}$
Równanie ma zatem dwa rozwiązania $x_1=0, \ x_2=-\frac{b}{a}$
Przykład 4.
Rozwiąż równanie $3x^2-12x=0$.
$\begin{split}
3x^2-12x&=0\\
x(3x-12)&=0\\
x=0\ &\vee\ 3x-12=0\\
&\quad 3x=12\\
&\quad x=4
\end{split}$
Rozwiązaniami równania są liczby $x_1=0, x_2=4$.

2. Równanie kwadratowe postaci $ax^2+c=0 $ (współczynnik b=0).
W tym przypadku postępujemy następująco
$\begin{gather*}ax^2+c=0\\
ax^2=-c\\
x^2=-\frac{c}{a}
\end{gather*}$
Mamy teraz dwie możliwości:
$\begin{gather*}-\frac{c}{a}<0, \end{gather*}$ wtedy równanie nie ma rozwiązań.
$\begin{gather*}-\frac{c}{a}>0,\end{gather*}$ wtedy równanie ma dwa rozwiązana $\begin{gather*}x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}},\ x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}\end{gather*}$.
Przykład 5.Rozwiąż równanie $-3x^2-8=0$.
$\begin{split}
-3x^2-8&=0\\
-3x^2&=8\\
x^2&=-\frac{8}{3}<0
\end{split}$
Równanie nie ma rozwiązań.
Przykład 6.Rozwiąż równanie $x^2-8=0$.
$\begin{split}
x^2-8&=0\\
x^2&=8>0\\
x_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2},\ \ x_2=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}.
\end{split}$


Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Jeżeli równanie $ax^2+bx+c=0$ ma dwa rozwiązania $x_1,\ x_2$, to trójmian kwadratowy $ax^2+bx+c $ można napisać w postaci iloczynowej $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$
Równanie $ax^2+bx+c=0$, przyjmuje wtedy postać $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$
Odwrotnie, równanie kwadratowe postaci $a(x-u)(x-v)=0$ (cały czas zakładamy, że $a>0$) jest równaniem kwadratowym i ma dwa rozwiązania $x_1=u,\ x_2=v$.
Jeżeli równanie $ax^2+bx+c=0$ ma jedno rozwiązanie $x_0$, to trójmian kwadratowy $ax^2+bx+c $ można napisać w postaci iloczynowej $a\left(x-x_0\right)^2.$
Równanie $ax^2+bx+c=0$, przyjmuje wtedy postać $a\left(x-x_0\right)^2=0$.
Odwrotnie, równanie kwadratowe postaci $a(x-p)^2=0$ (cały czas zakładamy, że $a>0$) jest równaniem kwadratowym i ma jedno rozwiązanie $x_0=p$.
Jeżeli równanie $ax^2+bx+c=0$ nie ma rozwiązań, to trójmian kwadratowy $ax^2+bx+c $ nie ma postaci iloczynowej.
Przykład 7.Napisz trójmian $Q(x)=2x^2-3x-2$ w postaci iloczynowej.
Wpierw rozwiązujemy równanie
$\begin{split}
2x^2-3x-2=0\\
\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25\\
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}\\
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+5}{4}=2.
\end{split}$
Zatem w postaci iloczynowej $Q(x)=2\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-2\right)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$.
Przykład 8. Rozwiąż równanie $-4(x+3)(x-1)=0$.
$\begin{split}
-4(x+3)(x-1)=0\\
-4\left(x-(-3)\right)(x-1)=0
\end{split}$
Trójmian kwadratowy po lewej stronie równania ma postać iloczynową, więc równanie ma dwa rozwiązania $x_1=-3,\ x_2=1$.
Przykład 9. Napisz w postaci iloczynowej wyrażenie $P(x)=4x^2-4x+1$

Rozwiązujemy najpierw równanie
$\begin{split}
4x^2-4x+1=0\\
\Delta=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0\\
x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
\end{split}$
Zatem w postaci iloczynowej, $P(x)=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$.