Potęgi o wykładnikach wymiernych. Działania na potęgach

Potęgi o wykładnikach wymiernych

Przyjmijmy oznaczenia :
$\mathbb{R}-$ zbiór liczb rzeczywistych, $\mathbb{C}-$ zbiór liczb całkowitych, $\mathbb{N}-$ zbiór liczb naturalnych, $\mathbb{W}-$ zbiór liczb wymiernych, $\mathbb{NW}-$ zbiór liczb niewymiernych,
$\begin{gather*}
a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \dots\cdot a}_\mathrm{m\ razy,}
\end{gather*}$ $\begin{gather*}\mathrm{dla\ \ }a\in\mathbb{R},\ m\in\mathbb{N},\ m\neq0,\\
\ \\
\
\end{gather*}$
$\begin{gather*}
a^{-m}=\frac{1}{a^m}
\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}
a\in\mathbb{R},\ a\neq0,\ m\in\mathbb{N},\ m\neq0,
\end{gather*}$
$\begin{gather*}a^0=1\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}a\in\mathbb{R},\ a\neq0\end{gather*}$, $\begin{gather*}0^0-\end{gather*}$nie istnieje,
$\begin{gather*}\large{a^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}}\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}a\in\mathbb{R},\ a\geqslant0 ,\ m\in\mathbb{N}, m\neq0\end{gather*}$
$\begin{gather*}\large{a^{\frac{1}{m}}=-(-a)^{\frac{1}{m}}}\end{gather*}$dla $\begin{gather*}a\in\mathbb{R},\ a<0,\ m\in\mathbb{N}, m-\mathrm{nieparzyste}\end{gather*}$.

Weźmy dowolną, różną od zera liczbę $w\in\mathbb{W}$. Istnieje wtedy różna od zera liczba całkowita $m$ i różna od zera naturalna liczba $n$ taka, że $\begin{gather*}w=\frac{m}{n}\end{gather*}$.
Potęgę wymierną liczby $a\in\mathbb{R}$ definiujemy wzorem:
$\begin{gather*}
\large{a^w=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m}\end{gather*}$.

Należy tu pamiętać, że gdy $m<0$, należy założyć, że $a\neq0$, a gdy $n$ jest liczba parzystą, należy założyć, że $a>0$.
Przykład.
$\begin{gather*}2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\end{gather*}$
$\begin{gather*}8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}27^{\frac{2}{3}}=\left(27^{\frac{1}{3}}\right)^2=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\end{gather*}$
$\begin{gather*}32^{-\frac{2}{5}}=\left(32^{\frac{1}{5}}\right)^{-2}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}.\end{gather*}$

Działania na potęgach


$$\large{\begin{split}
a^m\cdot a^n&=a^{m+n}\\
\frac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}\\
\left(a^m\right)^n&=a^{m\cdot n}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^m&=\frac{a^m}{b^m}\\
\left(a\cdot b\right)^m&=a^m\cdot b^m
\end{split}}$$
stąd w szczególności
$$\large{\begin{split}\sqrt{a\cdot b}&=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\\
\sqrt{\frac{a}{b}}&=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\end{split}}$$
Przykład

Wykonaj działania:
$\begin{split}
\frac{\left(2xy^2\right)^2\cdot \left(-3x^2y^4z^5\right)^3}{\left(-3x^2yz\right)^3}.\
\end{split}$
$\begin{split}
\frac{\left(2xy^2\right)^2\cdot \left(-3x^2y^4z^5\right)^3}{\left(-3x^2yz\right)^3}=\frac{\left(2^2x^2\left(y^2\right)^2\right)\cdot \left((-3)^3\left(x^2\right)^3\left(y^4\right)^3\left(z^5\right)^3\right)}{(-3)^3\left(x^2\right)^3y^3z^3}=\\
=\frac{\left(4x^2y^4\right)\cdot \left(-27x^6y^{12}z^{15}\right)}{-27x^6y^3z^3}=\frac{4\cdot (-27)\cdot x^2x^6\cdot y^4y^{12}\cdot z^{15}}{-27x^6y^3z^3}=\\
=\frac{4\cdot (-27)}{-27}\cdot \frac{x^{2+6}}{x^6}\cdot \frac{y^{4+12}}{y^3}\cdot \frac{z^{15}}{z^3}=\\
=4\cdot \frac{x^{8}}{x^6}\cdot \frac{y^{16}}{y^3}\cdot \frac{z^{15}}{z^3}=4 x^{8-6}y^{16-3}z^{15-3}=\\
=4x^2y^{13}z^{12}.
\end{split}$