REKLAMA
REKLAMA

Pojęcie funkcji liniowej

Pojęcie funkcji liniowej

Weźmy zupełnie dowolne dwie liczby rzeczywiste $a$ i $b$. Przyporządkujmy teraz każdej liczbie rzeczywistej $x$ liczbę rzeczywistą $y=ax+b$.
W ten sposób została określona funkcja, którą nazywamy funkcją liniową. Nazwa ,,liniowa" bierze się stąd, że wykresem tak określonej funkcji jest prosta. Każdy punkt tej prostej ma współrzędne $\left(x,ax+b\right)$, dla pewnej liczby $x$ (pomijam już dalej przymiotnik ,,rzeczywistej", bo innymi liczbami zajmować się nie będziemy).
Zauważmy tutaj, że ustalona na początku para liczb $a$ i $b$ w jednoznaczny sposób wyznacza funkcję liniową, nazwijmy ją $f$, a tym samym jednoznacznie wyznacza prostą, która jest wykresem tej funkcji.
Równanie $y=ax+b$ nazywać będziemy kierunkowym równaniem prostej, a o funkcji $f$ będziemy mówić, że jest wyznaczona tym równaniem.
Często będziemy utożsamiać pojęcia ,,funkcja liniowa wyznaczona równaniem $y=ax+b$" i ,,prosta o równaniu $y=ax+b$". Możemy tak robić, bo każda prosta (z wyjątkiem prostej równoległej do osi Oy - pionowej) wyznacza dokładnie jedną funkcje liniową, a każda funkcja liniowa wyznacza dokładnie jedną prostą.
Prosta o równaniu $y=ax+b$ zawsze przechodzi przez punkt $\left(0,b\right)$. Tak jest w istocie, bo gdy $x=0$, to $y=a\cdot 0+b=b$.
W przypadku, gdy $a=0$, to równanie prostej $y=ax+b$ przyjmuje postać $y=b$. W tym przypadku prosta jest pozioma i również przecina oś Oy w punkcie $(0,b)$.
 Funkcje Funkcja liniowa Teoria 04/03/001 090. ( pkt.)   272

Współczynnik $a$ w równaniu $y=ax+b$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Nazwa bierze się stąd, że liczba $a$ jest ściśle związana z kierunkiem prostej, jest mianowicie tangensem kąta nachylenia prostej $y=ax+b$ do osi Ox.

Przykłady

Przykład 1.
Jakie równania mają proste przedstawione na poniższych rysunkach?

 Funkcje Funkcja liniowa Teoria 04/03/001 090. ( pkt.)   273 Funkcje Funkcja liniowa Teoria 04/03/001 090. ( pkt.)   274 Funkcje Funkcja liniowa Teoria 04/03/001 090. ( pkt.)   275 Funkcje Funkcja liniowa Teoria 04/03/001 090. ( pkt.)   276

Rysunek 1.
$\begin{split}
&a=\text{tg }45^{\circ}=1\\
&b=-3.
\end{split}$
Równanie prostej
$\begin{gather*}y=x-3\end{gather*}$.

Rysunek 2.
$\begin{split}
&a=\text{tg }30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\
&b=2.
\end{split}$
Równanie prostej
$\begin{gather*}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\end{gather*}$.

Przy wyznaczaniu współczynników kierunkowych ($a$ w równaniu $y=ax+b$) dla prostych z trzeciego i czwartego rysunku będziemy korzystać z następującej zależności:
$\begin{gather*}\text{tg }\left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\text{tg }\alpha\end{gather*}$.

Rysunek 3.
$\begin{split}
&a=\text{tg }135^{\circ}=\text{tg }\left(180^{\circ}-45^{\circ}\right)=-\text{tg }45^{\circ}=-1\\
&b=3.
\end{split}$
Równanie prostej
$\begin{gather*}y=-x+3\end{gather*}$.

Rysunek 4.
$\begin{split}
&a=\text{tg }120^{\circ}=\text{tg }\left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)=-\text{tg }60^{\circ}=-\sqrt{3}.\\
&b=-1,5.
\end{split}$
Równanie prostej
$\begin{gather*}y=-\sqrt{3}x-1,5\end{gather*}$.

Przykład 2.
Prosta $y=(m+n)x+m-n$ jest do osi Ox nachylona pod kątem $45^{\circ}$ i przecina oś Oy w punkcie $(0,3)$. Oblicz $m$ i $n$.

Współczynnik kierunkowy danej prostej $m+n=\text{tg }45^{\circ}=1$
Prosta przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $m-n=3$.
Otrzymujemy układ równań:
$\begin{split}
\begin{cases}
m+n=1\\
m-n=3
\end{cases}
\end{split}$
Po dodaniu obu równań stronami
$2m=4$
$m=2$
Stąd
$n=1-m=1-2=-1$.
Odpowiedź:
$m=2$ i $n=-1$.