REKLAMA
REKLAMA

Nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa


Nierównością kwadratową nazywamy każdą nierówność, którą można przekształcić do jednej z postaci:
\begin{split}ax^2+bx+c>0,\\
ax^2+bx+c<0,\\
ax^2+bx+c\geqslant 0,\\
ax^2+bx+c\leqslant 0,
\end{split}
gdzie $a\neq0$.

W każdym z tych przypadków postępujemy według następującego schematu.
1. Znajdujemy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$. W tym celu rozwiązujemy równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$.
3. Szkicujemy schematycznie parabolę $y=ax^2+bx+c$.
4. Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
Przykład 1.
Rozwiąż nierówność: $x^2+2x-3\geqslant 0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2+2x-3$ (czyli rozwiązania równania $x^2+2x-3=0$):

Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=2, \quad c=-3$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\end{gather*}$.

$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1 \end{gather*}$

Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone do góry, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera.
 Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Teoria 03/02/001 185. ( pkt.)  Poziom podstawowy 78

Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).
Otrzymujemy $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle1,+\infty)$.
Przykład 2.
Rozwiąż nierówność: $x^2-2x-3<0$

Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-2x-3$ (czyli rozwiązania równania $x^2-2x-3=0$):

Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-2, \quad c=-3$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\end{gather*}$.

$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{gather*}$


Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone do góry, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera.
 Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Teoria 03/02/001 185. ( pkt.)  Poziom podstawowy 84

Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są mniejsze od zera (czyli wykres paraboli jest poniżej osi X), końce przedziału są otwarte- puste kółka.
Otrzymujemy $x \in (-1,3)$.
Przykład 3.
Rozwiąż nierówność: $-x^2-3x+10\geqslant 0$
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $-x^2-3x+10$ (czyli rozwiązania równania $-x^2-3x+10=0$):

Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=-1, \quad b=-3, \quad c=10$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot 10=9+40=49\end{gather*}$.

$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \\ \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3-7}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3+7}{-2}=\frac{10}{-2}=-5\end{gather*}$


Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone w dół, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera.
 Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Teoria 03/02/001 185. ( pkt.)  Poziom podstawowy 86

Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).

Otrzymujemy $x \in \langle -5,2 \rangle$.
Przykład 4.
Rozwiąż nierówność: $x^2-3x+4\geqslant 0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-3x+4$ (czyli rozwiązania równania $x^2-3x+4=0$):

Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-3, \quad c=4$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3\end{gather*}$.

$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.

Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-3x+4$ nie ma pierwiastków.
 Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Teoria 03/02/001 185. ( pkt.)  Poziom podstawowy 79

Wartości funkcji kwadratowej są większe lub równe 0 (leżą powyżej osi X lub na niej) w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Przykład 5.
Rozwiąż nierówność $x^2-x+5<0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-x+5$ (czyli rozwiązania równania $x^2-x+5=0$):

Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-1, \quad c=5$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19\end{gather*}$.

$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.

Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-x+5$ nie ma pierwiastków.
 Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Teoria 03/02/001 185. ( pkt.)  Poziom podstawowy 80

Nigdzie wartości funkcji kwadratowej nie są mniejsze od 0 (cała parabola leży powyżej osi X) w związku z tym nierówność nie ma rozwiązań.