.
Matura z Matematyki
Nierówność kwadratowa
Nierówność kwadratowa
Nierównością kwadratową nazywamy każdą nierówność, którą można przekształcić do jednej z postaci:
\begin{split}ax^2+bx+c>0,\\
ax^2+bx+c<0,\\
ax^2+bx+c\geqslant 0,\\
ax^2+bx+c\leqslant 0,
\end{split}
gdzie $a\neq0$.
W każdym z tych przypadków postępujemy według następującego schematu.
1. Znajdujemy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$. W tym celu rozwiązujemy równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$.
3. Szkicujemy schematycznie parabolę $y=ax^2+bx+c$.
4. Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
Przykład 1.
Rozwiąż nierówność: $x^2+2x-3\geqslant 0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2+2x-3$ (czyli rozwiązania równania $x^2+2x-3=0$):
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=2, \quad c=-3$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1 \end{gather*}$
Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone do góry, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera.
Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).
Otrzymujemy $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle1,+\infty)$.
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=2, \quad c=-3$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1 \end{gather*}$
Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone do góry, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera.
Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).
Otrzymujemy $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle1,+\infty)$.
Przykład 2.
Rozwiąż nierówność: $x^2-2x-3<0$
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-2x-3$ (czyli rozwiązania równania $x^2-2x-3=0$):
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-2, \quad c=-3$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{gather*}$
Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone do góry, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera.
Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są mniejsze od zera (czyli wykres paraboli jest poniżej osi X), końce przedziału są otwarte- puste kółka.
Otrzymujemy $x \in (-1,3)$.
Przykład 3.
Rozwiąż nierówność: $-x^2-3x+10\geqslant 0$
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $-x^2-3x+10$ (czyli rozwiązania równania $-x^2-3x+10=0$):
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=-1, \quad b=-3, \quad c=10$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot 10=9+40=49\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \\ \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3-7}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3+7}{-2}=\frac{10}{-2}=-5\end{gather*}$
Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone w dół, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera.
Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).
Otrzymujemy $x \in \langle -5,2 \rangle$.
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=-1, \quad b=-3, \quad c=10$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot 10=9+40=49\end{gather*}$.
$\Delta>0$, więc są dwa pierwiastki, które liczymy ze wzorów $\begin{gather*}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \\ \end{gather*}$, stąd
$\begin{gather*}x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3-7}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{49}}{2\cdot (-1)}=\frac{3+7}{-2}=\frac{10}{-2}=-5\end{gather*}$
Zaznaczamy te liczby na osi X. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty. Jej ramiona są zwrócone w dół, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera.
Zaznaczamy przedział argumentów, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera (czyli wykres paraboli jest powyżej osi X) lub równe zero (końce przedziału są domknięte - zamalowane kółka).
Otrzymujemy $x \in \langle -5,2 \rangle$.
Przykład 4.
Rozwiąż nierówność: $x^2-3x+4\geqslant 0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-3x+4$ (czyli rozwiązania równania $x^2-3x+4=0$):
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-3, \quad c=4$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3\end{gather*}$.
$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.
Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-3x+4$ nie ma pierwiastków.
Wartości funkcji kwadratowej są większe lub równe 0 (leżą powyżej osi X lub na niej) w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-3, \quad c=4$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3\end{gather*}$.
$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.
Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-3x+4$ nie ma pierwiastków.
Wartości funkcji kwadratowej są większe lub równe 0 (leżą powyżej osi X lub na niej) w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Przykład 5.
Rozwiąż nierówność $x^2-x+5<0$.
Znajdźmy pierwiastki wielomianu $x^2-x+5$ (czyli rozwiązania równania $x^2-x+5=0$):
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-1, \quad c=5$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19\end{gather*}$.
$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.
Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-x+5$ nie ma pierwiastków.
Nigdzie wartości funkcji kwadratowej nie są mniejsze od 0 (cała parabola leży powyżej osi X) w związku z tym nierówność nie ma rozwiązań.
Liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego ze wzoru $\begin{gather*}\Delta=b^2-4ac\end{gather*}$
Tutaj $a=1, \quad b=-1, \quad c=5$, stąd
$\begin{gather*}\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19\end{gather*}$.
$\Delta<0$, więc nie ma pierwiastków.
Szkicujemy parabolę - jej ramiona są zwrócone w górę, ponieważ współczynnik $a$ trójmianu kwadratowego jest większy od zera. Parabola nie przecina osi x, bo trójmian $x^2-x+5$ nie ma pierwiastków.
Nigdzie wartości funkcji kwadratowej nie są mniejsze od 0 (cała parabola leży powyżej osi X) w związku z tym nierówność nie ma rozwiązań.