Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx +c$ w każdym przedziale domkniętym $\left\langle d,e\right\rangle$ przyjmuje wartość najmniejszą i największą.

Wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji $f(x)=ax^2+bx +c$ jest punkt $W=(p,q)$, gdzie $\begin{split}p=\frac{-b}{2a}\end{split}$, a $\begin{split}q=\frac{-\Delta}{4a}.\end{split}$

Jeżeli $p\notin (d,e)$, to jedna z liczb $f(d)$ i $f(e)$ jest najmniejszą wartością funkcji, a druga największą w przedziale $\left\langle d,e\right\rangle$.

W przypadku gdy $p\in (d,e)$, to wśród liczb $f(d), f(e)$ i $f(p)$ jest najmniejsza i największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\left\langle d,e\right\rangle$.

Innymi słowy, wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$ w przedziale domkniętym $\left\langle d,e\right\rangle$ można znaleźć według procedury:

1. Sprawdzamy, czy $p=\frac{-b}{2a}\in(d,e)$.

2. Jeżeli nie, to obliczamy dwie liczby: $f(d)$ oraz $f(e)$. Jedna z nich jest największą, a druga najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $\left\langle e,d\right\rangle$.

3. Jeżeli tak, to obliczamy trzy liczby: $f(e), f(d)$ oraz $f(p)$. Wśród tych trzech liczb jest największa i najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\left\langle e,d\right\rangle$.

Obliczmy najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x+3$ w przedziale $\left\langle 0,4\right\rangle$.

Wierzchołek paraboli $f(x)=x^2-6x+3$ ma współrzędne $(p,q)$, gdzie

$\begin{split}
p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot 1}=3 \in\langle 0,4\rangle.
\end{split}$

Wyliczamy trzy liczby: $f(0), \ f(4)$ oraz $f(p)=f(3)$. Wśród nich jest największa i najmniejsza wartość funkcji.

$\begin{split}
f(0)=3,\ \ f(4)= 4^2-6\cdot 4+3=-5, \ \ f(3)=3^2-6\cdot 3+3=-6
\end{split}$

Zatem najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\left\langle 0,4\right\rangle$ to liczba $-6$, a największa, to liczba $3$.