Matura z Matematyki

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie: $-x^2+(2m^2+3)x-m^4-1=0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Narysuj wykres funkcji: $f(x)=\begin{cases}-2^{x+1}+2, \ \ \text{ dla }\ x\leqslant 0\\ -|x-4|+4, \ \text{ dla }\ x>0.\end{cases}$
Określ liczbę rozwiązań równania $\left|f(x)\right|=m$ w zależności od parametru $m$.

O wielomianie $W(x)=2x^3+ax^2+bx+c$ wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian $x+2$. Oblicz współczynniki a, b, c. Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność $W(x+1)<0$.

Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby $a+b$ oraz $a\cdot b$ są podzielne przez k, to liczba $a^3-b^3$ też jest podzielna przez k.

Określ dziedzinę funkcji: $\begin{split}f(x)=\sqrt{\log_2\left(\log_{\frac{1}{3}}(x+1)\right)}\end{split}$.

Wiedząc, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu $(b_n)$ określony jest wzorem $\begin{split}b_n=5^{a_n}\end{split}$, wykaż, że ciąg $(b_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od n, iloczyn $b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot ...\cdot b_n$, przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy 1, a jego różnica jest równa 3.

Rozwiąż równanie: $\sin x\left|\cos x\right|=0,25$, gdzie $x\in\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.