Matura z Matematyki

Dane jest równanie $(2m+1)x^2-(m+3)x+2m+1=0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz te wartości parametru $m$, dla których suma odwrotności różnych pierwiastków danego równania jest większa od $1$.

Ciąg $(a,b,c)$ jest ciągiem arytmetycznym. Suma jego wyrazów jest równa $18$. Jeżeli pierwszą z liczb zmniejszymy o $25\%$, a trzecią zwiększymy o $50\%$, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz liczby $a,b,c$.

Krawędź podstawy ostrosłupa trójkątnego prawidłowego jest równa $6$. Jego objętość jest równa $9\sqrt{3}$. Wyznacz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

Wśród dziesięciu losów loteryjnych znajduje się jeden los z główną wygraną oraz dwa losy uprawniające do wylosowania następnego losu. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przy zakupie jednego losu.

Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość $2$. Bok $AB$ prostokąta $ABCD$ zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta,zaś punkty $C$ i $D$ należą do przyprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta $ABCD$ wiedząc, że kwadrat długości jego przekątnej $AC$ ma wartość najmniejszą z możliwych.