Matura z Matematyki

Rozwiąż równanie $2\cos^2x-2\cos^2x\sin x=1-\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Dany jest czworokąt $ABCD$. Niech $S$ będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$.

Dane są funkcje $f(x)=\frac{2x+b}{ax+1}$ oraz $g(x)=\frac{ax+c}{ax+1}$, o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt wspólny $P\left(-9,\frac{11}{13}\right)$, a miejscem zerowym funkcji $g$ jest liczba: $-\frac{5}{3}$. Wyznacz wartości parametrów $a,b,c$.

Narysuj wykres funkcji $\begin{gather*}f(x)=\frac{\cos x+|\sin x|}{\cos x}\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}.$ Podaj zbiór rozwiązań nierówności $0\leqslant f(x)<2.$

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa $52$.Jeżeli do pierwszej liczby dodamy $2$, do drugiej $12$, a do trzeciej $6$, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość $6$, a kąty przyległe do niego mają miary $45^{\circ}$ i $105^{\circ}$. Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci $a+b\cdot \sqrt{c}$, gdzie $a,b,c$ są liczbami wymiernymi.

Dany jest wielomian $W(x)$ stopnia $n>2$, którego suma wszystkich współczynników jest równa $4$, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta $R(x)$ z dzielenia tego wielomianu przez wielomian $P(x)=(x+1)(x-1)$ jest równa $R(x)=2x+2$.