Matura z Matematyki

Dla dowolnych liczb $x>0,x\neq1,y>0,y\neq1$ wartość wyrażenia $\left(\log_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left(\log_{\frac{1}{y}}x\right)$ jest równa

Liczba $\cos^2105^\circ-\sin^2105^\circ$ jest równa

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $y=f(x)$, który jest złożony z dwóch półprostych $AD$ i $CE$ oraz dwóch odcinków $AB$ i $BC$, gdzie $A=(-1,0), B=(1,2), C=(3,0), D=(-4,3), E=(6,3)$.

Wzór funkcji $f$ to

Zdarzenia losowe $A$ i $B$ zawarte w $\Omega$ są takie, że prawdopodobieństwo $P(B')$ zdarzenia $B'$, przeciwnego do zdarzenia $B$, jest równe $\frac{1}{4}$. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)=\frac{1}{5}$. Wynika stąd, że

Oblicz granicę

$\begin{split}
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right).
\end{split}$

Wpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr $1,3,5,7,9,$ bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.