REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2017

8-14z15
W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $|\sphericalangle ABC|=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$.
Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\begin{split}\frac{2ac\cdot \cos\frac{\beta}{2}}{a+c}\end{split}$.
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość $6$, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $SP$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$ .
Rozwiąż równanie $\cos2x+3\cos x=-2$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech wylosowanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
REKLAMA
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0$
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, przy czym $x_1< x_2$, spełniające warunek
$(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0$.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y+1=0$.
Liczby $a, b, c$ są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa $27$. Ciąg $(a-2, b, 2c+1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a,b,c$.
8-14z15