Matura z Matematyki

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2\geqslant 2x$.

Rozwiąż równanie $\cos2x+2=3\cos x$.

Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(m+2)x+m+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,x_2$ take, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m +12$.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty $P$ postaci: $\begin{gather*}P=\left(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m\right)\end{gather*}$, gdzie $m\in\left\langle -1,7\right\rangle$. Oblicz najmniejszą wartość $|PQ|^2$, gdzie $\begin{gather*}Q=\left(\frac{55}{2},0\right)\end{gather*}$.

Udowodnij, że jeżeli $a+b\geqslant 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\geqslant a^2b+ab^2$