Matura z Matematyki

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2 +2x-2y-3=0$, poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2 $ jest podzielna przez 36.

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,a\neq c, b\neq c \text{ i }a+b=2c,$ to $\begin{gather*}\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2.\end{gather*}$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2 +m-2=0 $ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,x_2$ takie, że $\left(x_1-x_2\right)^2<8(m+1).$

Rozwiąż równanie $2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=1-\cos x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

O ciągu $\left(x_n\right)$ dla $n\geqslant 1$ wiadomo,że:
a) ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem $\begin{gather*}a_n=3^{x_n}\end{gather*}$, dla $n\geqslant 1$ jest geometryczny o ilorazie $q=27$.
b) $x_1+x_2+\dots+x_{10} =145$.
Oblicz $x_1$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $\left|\sphericalangle BAC\right|=30^{\circ}$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.