Matura z Matematyki

Udowodnij, że liczba $7^{50}-7^{49}-2\cdot 7^{48}$ jest wielokrotnością 40.

Udowodnij, że liczba $5^{22}-5^{21}+2\cdot 5^{20}$ jest podzielna przez 22.

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2 $ jest podzielna przez 36.

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie: $-x^2+(2m^2+3)x-m^4-1=0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,a\neq c, b\neq c \text{ i }a+b=2c,$ to $\begin{gather*}\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2.\end{gather*}$

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność
$$x(x-1)+y(y-1)\geqslant xy-1$$.

Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby $a+b$ oraz $a\cdot b$ są podzielne przez k, to liczba $a^3-b^3$ też jest podzielna przez k.