Przyjmiemy oznaczenia zgodne z poniższym rysunkiem.

Zastosuj twierdzenie cosinusów do trójkąta $ASD$, a następnie do trójkąta $ABS$, a otrzymane równości dodaj stronami.
Twierdzenie cosinusów, Wzory trygonometryczne.

Przyjmijmy oznaczenia zgodne z poniższym rysunkiem

Litery $a$ i $b$ oznaczają tu długości boków równoległoboku, natomiast litery $c$ i $d$ oznaczają długości przekątnych tego równoległoboku.
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ASD$
$\begin{gather*}
b^2=\left(\frac{1}{2}c\right)^2+\left(\frac{1}{2}d\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{2}d\cdot \cos\alpha
\end{gather*}$
Stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABS$, otrzymujemy
$\begin{gather*}
a^2=\left(\frac{1}{2}d\right)^2+\left(\frac{1}{2}c\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}d\cdot \frac{1}{2}c\cdot \cos\left(180^{\circ}-\alpha\right).
\end{gather*}$.
Ponieważ $\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos\alpha$ (wzór redukcyjny), mamy układ dwóch równań
$\begin{split}
&\begin{cases}
b^2=\left(\frac{1}{2}c\right)^2+\left(\frac{1}{2}d\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{2}d\cdot \cos\alpha\\
a^2=\left(\frac{1}{2}c\right)^2+\left(\frac{1}{2}d\right)^2+2\cdot \frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{2}d\cdot \cos\alpha
\end{cases}\\
&\begin{cases}
b^2=\frac{1}{4}c^2+\frac{1}{4}d^2-\frac{1}{2}cd\cos\alpha\\
a^2=\frac{1}{4}c^2+\frac{1}{4}d^2+\frac{1}{2}cd\cos\alpha\\
\end{cases}
\end{split}$
Po dodaniu obu równań stronami otrzymujemy
$\begin{split}
a^2+b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}d^2\Big/\cdot 2\\
2a^2+2b^2=c^2+d^2.
\end{split}$
Otrzymaliśmy zależność, którą należało udowodnić.

Twierdzenie zostało udowodnione