Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma równanie $x=0$ lub $y=ax$ dla pewnego $a\in\mathbb{R}$

Łatwo zauważyć, że prosta $x=0$ nie jest styczna do danego okręgu (np.: podstawiając do równania okręgu $x=0$, otrzymamy równanie sprzeczne, więc prosta $x=0$ nie ma z okręgiem punktów wspólnych.). Pozostaje wyznaczyć takie $a$, żeby prosta $y=ax$ miała z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
Innymi słowy należy wyznaczyć takie wartości $a$, dla których następujący układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:
$\begin{split}
\begin{cases}
y=ax\\
x^2+y^2-10x+4y+25=0.
\end{cases}\\
x^2+(ax)^2-10x+4\cdot ax+25=0\\
\left(a^2+1\right)x^2+(4a-10)x+25=0
\end{split}$

Ponieważ układ równań ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to otrzymane równanie kwadratowe również musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli musi być spełniony warunek
$\begin{split}
\Delta&=0\\
(4a-10)^2-4\cdot \left(a^2+1\right)\cdot 25&=0\\
16a^2-80a+100-100a^2-100&=0\\
84a^2-80a&=0\Big/:4\\
21a^2+20a&=0\\
a(21a+20)&=0\\
a=0\ &\vee\ 21a+20&=0\\
&&a=-\frac{20}{21}
\end{split}$