Zapisz trójmian kwadratowy $x^2-x-2$ w postaci iloczynowej. Następnie wyznacz pierwiastki wielomianu $W(x)$, znając dwumiany, przez które jest podzielny. Wielomiany i ich pierwiastki - poczytaj!

Przedstawmy trójmian kwadratowy $x^2-x-2$ w postaci iloczynowej.
$\begin{split}
\Delta =( -1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9,\\
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=-1\\
x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=2.
\end{split}$

Zatem $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$

Skoro wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $x^2-x-2$, to jest podzielny zarówno przez $(x+1)$, jak i przez $(x-2)$. Zatem liczby $-1$ i $2$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)$.
Mamy więc
$\begin{split}
&\begin{cases}
W(-1)=0\\
W(2)=0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
(-1)^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)-4=0\\
2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2-4=0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
b-c=5\Big/\cdot 2\\
4b+2c=-4
\end{cases}\\
&\begin{cases}
2b-2c=10\\
4b+2c=-4
\end{cases}
\end{split}$
Po dodaniu obu równań stronami:
$\begin{split}
6b=6\\
b=1, \\
c=b-5=1-5=-4.
\end{split}$

Współczynnik $b=1$, a współczynnik $c=-4$.