REKLAMA
REKLAMA
Matura - poziom podstawowy
Matura - poziom rozszerzony

Matura próbna z matematyki (OKE Poznań), poziom rozszerzony - styczeń 2011

Liczby rzeczywiste

Wartość bezwzględna

Udostępnij

Zadanie 01/03/088 1. (4 pkt.) 01/03/088

Rozwiąż nierówność $|x|+|x-4|\leqslant 6-x$.

Podpowiedź:

Przypomnij sobie co to jest wartość bezwzględna i jak się rozwiązuje nierówności z wartością bezwzględną.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Punkty $x=0$ i $x=4$, dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Wyrażenie $x$ zmienia znak z ujemnego na dodatni punkcie $0$, a wyrażenie $x-4$ zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie $x=4$.
Rozwiązanie //. ( pkt.) 340

Rozwiążemy nierówność w każdym z przedziałów osobno, a na koniec połączymy otrzymane rozwiązania.
Przypadek I. $x\in(-\infty,0)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
-x-(x-4)&\leqslant6-x\\
-2x+4&\leqslant 6-x\\
-x&\leqslant 2\Big/\cdot (-1)\\
x&\geqslant -2.
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in(-\infty,0)$, otrzymujemy
$x\in\langle-2,0).$
Przypadek II. $x\in\langle0,4)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
x-(x-4)&\leqslant6-x\\
4&\leqslant 6-x\\
x&\leqslant 2.
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in\langle0,4)$, otrzymujemy
$x\in\langle0,2\rangle.$
Przypadek III. $x\in\langle4,+\infty)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
x+(x-4)&\leqslant6-x\\
2x-4&\leqslant 6-x\\
3x&\leqslant 10\Big/:3\\
x&\leqslant \frac{10}{3}\\
x&\leqslant3\frac{1}{3}
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in\langle4,\infty)$, nie otrzymujemy w tym przypadku rozwiązań nierówności.

Ostatecznie, sumując rozwiązania ze wszystkich przedziałów, otrzymujemy
$x\in\left\langle -2,2\right\rangle$.

Odpowiedź:

Zbiorem rozwiązań nierówności $|x|+|x-4|\leqslant 6-x$ jest przedział $\left\langle -2,2\right\rangle$.
Poziom rozszerzony Matura próbna Wartość bezwzględna