REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Wyrażenia algebraiczne

Wielomiany

Dany jest wielomian $W(x)$ stopnia $n>2$, którego suma wszystkich współczynników jest równa $4$, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta $R(x)$ z dzielenia tego wielomianu przez wielomian $P(x)=(x+1)(x-1)$ jest równa $R(x)=2x+2$.

Podpowiedź:

Wielomian $W(x)$ można przedstawić w postaci $W(x)=Q(x)(x-1)(x+1)+ax+b$, gdzie $ax+b=R(x)$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$, natomiast $Q(x)$ jest pewnym wielomianem niezerowym.
Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla argumentu $x=1$, zatem
$W(1)=4$.
Jeżeli suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych, to $W(-1)=0$.
Poczytaj o wielomianach:Wielomiany i ich pierwiastki.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Wielomian $W(x)$ można przedstawić w postaci $W(x)=Q(x)(x-1)(x+1)+ax+b$, gdzie $ax+b=R(x)$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$, natomiast $Q(x)$ jest pewnym wielomianem niezerowym.
Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla argumentu $x=1$,zatem
$W(1)=4$.
Jeżeli suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych, to $W(-1)=0$.

Otrzymujemy układ równań:
$\begin{split}
&\begin{cases}
W(1)=4\\
W(-1)=0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
Q(x)(1-1)(1+1)+a\cdot 1+b=4\\
Q(x)(-1-1)(-1+1)+a\cdot (-1)+b=0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a+b=4\\
-a+b=0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a=2\\
b=2
\end{cases}\\
&R(x)=2x+2.
\end{split}$

Odpowiedź:

Twierdzenie zostało udowodnione.