REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Stereometria

Ostrosłupy

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość $6$, a kąty przyległe do niego mają miary $45^{\circ}$ i $105^{\circ}$. Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci $a+b\cdot \sqrt{c}$, gdzie $a,b,c$ są liczbami wymiernymi.

Podpowiedź:

Przyjmij oznaczenia zgodne z poniższym rysunkiem.
   Wskazówka //. ( pkt.)   437
$r-$ promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$,
$|AC|=b$,
$|AB|=6$.
Oczywiście, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$,to $|\sphericalangle BCA|=30^{\circ}$.
Z Twierdzenia sinusów obliczysz długość boku $AC$ oraz promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, który jest jednocześnie wysokością ostrosłupa.
Pole podstawy, czyli pole trójkąta $ABC$ oblicz ze wzoru na pole trójkąta: $\begin{gather*}P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\end{gather*}$, gdzie $a, \ b$ są długościami dowolnych boków trójkąta, a $\gamma$ jest kątem między nimi. Niezbędne wzory trygonometryczne (będą potrzebne, żeby obliczyć $\sin105^{\circ}$) znajdziesz tu.
Objętość ostrosłupa $\begin{gather*}V=\frac{1}{3}P_p\cdot H\end{gather*}$, gdzie $P_p$ jest polem podstawy, a $H$ długością wysokości ostrosłupa.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia zgodne z poniższym rysunkiem.
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   437
$r-$ promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$,
$|AC|=b$,
$|AB|=6$.
Oczywiście, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$,to $|\sphericalangle BCA|=30^{\circ}$.
Z twierdzenia sinusów:
$\begin{gather*}\frac{6}{\sin30^{\circ}}=\frac{b}{\sin45^{\circ}}=2r\end{gather*}$,

$\begin{gather*}
\frac{6}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{gather*}$
$\begin{gather*}
\frac{1}{2}b=3\sqrt{2}\\
b=6\sqrt{2}.
\end{gather*}$

Jednocześnie $\begin{gather*}\frac{6}{\sin30^{\circ}}=2r\end{gather*}$. Stąd $r=6$. Wysokość ostrosłupa jest zatem równa $6$.

Pole podstawy ostrosłupa
$\begin{split}
P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot b\cdot \sin105^{\circ}=18\sqrt{2}\sin\left(180^{\circ}-75^{\circ}\right)=\\
=18\sqrt{2}\sin75^{\circ}=18\sqrt{2}\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\\
=18\sqrt{2}\left(\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\right)=\\
=18\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)=\\
=18\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}=9\left(\sqrt{3}+1\right).
\end{split}$
Objętość $V$ ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola jego podstawy i wysokości.
U nas $\begin{gather*}V=
\frac{1}{3}\cdot 9\left(\sqrt{3}+1\right)\cdot 6=18\left(\sqrt{3}+1\right)=18+18\sqrt{3}.
\end{gather*}$

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa $V=18+18\sqrt{3}$.