REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Ciągi liczbowe

Ciągi arytmetyczny i geometryczny

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa $52$.Jeżeli do pierwszej liczby dodamy $2$, do drugiej $12$, a do trzeciej $6$, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

Podpowiedź:

Zauważ, że jeżeli ciąg $\left(a,b,c\right)$ jest geometryczny i rosnący, to istnieje liczba $a>0$ oraz istnieje taka liczba $q>1$, że $b=aq$ i $c=aq^2$
Z warunków zadania: $a+b+c=a+aq+aq^2=52$.
Ciąg $\left(a+2,\ aq+12,\ aq^2+6\right)$ jest arytmetyczny, więc

$\begin{gather*}
aq+12=\frac{a+2+aq^2+6}{2}
\end{gather*}$.
(Poczytaj: Ciąg arytmetyczny oraz Ciąg geometryczny).
REKLAMA

Rozwiązanie:

Jeżeli ciąg $\left(a,b,c\right)$ jest geometryczny i rosnący, to istnieje liczba $a>0$ oraz istnieje taka liczba $q>1$, że $b=aq$ i $c=aq^2$
Z warunków zadania: $a+b+c=a+aq+aq^2=52$.
Ciąg $\left(a+2,\ aq+12,\ aq^2+6\right)$ jest arytmetyczny, więc

$\begin{gather*}
aq+12=\frac{a+2+aq^2+6}{2}
\end{gather*}$.
Otrzymujemy zatem układ dwóch równań z niewiadomymi $a$ i $q$:

$\begin{split}
&\begin{cases}
a+aq+aq^2=52\\
aq+12=\frac{a+2+aq^2+6}{2}
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a\left(1+q+q^2\right)=52\\
2aq+24=a+aq^2+8
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a=\frac{52}{1+q+q^2}\\
aq^2-2aq+a=16
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a=\frac{52}{1+q+q^2}\\
a\left(q^2-2q+1\right)=16
\end{cases}\\
&\frac{52}{1+q+q^2}\left(q^2-2q+1\right)=16\Big/\cdot \left(1+q+q^2\right)\\
&52\left(q^2-2q+1\right)=16 \left(1+q+q^2\right)\Big/:4\\
&13q^2-26q+13=4+4q+4q^2\\
&9q^2-30q+9=0\Big/:3\\
&3q^2-10q+3=0\\
&\Delta=100-36=64, \ \ \sqrt{\Delta}=8\\
&q_1=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\
&q_2=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3
\end{split}$
Przyjmujemy $\begin{gather*}q=3\end{gather*}$ bo z założenia $q>1$.
Wtedy
$\begin{split}
&a=\frac{52}{1+q+q^2}=\frac{52}{13}=4,
&b=aq=4\cdot 3=12,
&c=aq^2=4\cdot 3^2=4\cdot 9=36.
\end{split}$
Szukany ciąg arytmetyczny to ciąg $\left(a+2,b+12,c+6\right)=\left(6,24,42\right)$.

Odpowiedź:

Szukany ciąg arytmetyczny to ciąg $\left(6,24,42\right)$.