REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Trygonometria

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Narysuj wykres funkcji $\begin{gather*}f(x)=\frac{\cos x+|\sin x|}{\cos x}\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}.$ Podaj zbiór rozwiązań nierówności $0\leqslant f(x)<2.$

Podpowiedź:

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej (Wartość bezwzględna) oraz z faktu, że $\begin{gather*}\frac{\sin x}{\cos x}=\text{tg}x\end{gather*}$ (Wzory trygonometryczne), otrzymasz
$
f(x)=\begin{cases}\begin{split}
&1+\left|\text{tg}x\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
&1-\left|\text{tg}x\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{split}
\end{cases}
$
Wykres funkcji $f$ otrzymujemy dokonując następujących operacji na wykresie funkcji tangens w zbiorze $\begin{gather*}\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}$:
1. W przedziale $\begin{gather*}\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\end{gather*}$ część wykresu funkcji tangens leżącą pod osią Ox przekształcamy symetrycznie względem tej osi, a otrzymaną krzywą przesuwamy o wektor $[0,1]$ (o 1 w górę).
2. W przedziałach $\begin{gather*}\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\quad\text{oraz}\quad\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}$ część dodatnią wykresu funkcji tangens przekształcamy symetrycznie względem osi Ox, a otrzymaną krzywą przesuwamy o wektor $[0,1]$ (o 1 w górę).

Zbiór rozwiązań nierówności odczytasz z wykresu.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{gather*}f(x)=\frac{\cos x+|\sin x|}{\cos x}\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}.$ Podaj zbiór rozwiązań nierówności $0\leqslant f(x)<2.$

$\begin{split}
f(x)=\frac{\cos x+|\sin x|}{\cos x}=1+\frac{\left|\sin x\right|}{\cos x}.
\end{split}$

$\cos x>0$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\end{gather*}$, więc w tym przedziale $\cos x=|\cos x|$
$\cos x<0$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}$, więc w tych przedziałach $\cos x =-|\cos x|$.

Stąd
$
f(x)=\begin{cases}\begin{split}
&1+\frac{\left|\sin x\right|}{|\cos x|}=1+\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
&1+\frac{\left|\sin x\right|}{-|\cos x|}=1-\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{split}
\end{cases}
$

$
f(x)=\begin{cases}\begin{split}
&1+\left|\text{tg}x\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
&1-\left|\text{tg}x\right| \quad\text{dla}\quad x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{split}
\end{cases}
$

Wykres funkcji $f$ otrzymujemy dokonując następujących operacji na wykresie funkcji tangens w zbiorze $\begin{gather*}\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}$:
1. W przedziale $\begin{gather*}\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\end{gather*}$ część wykresu funkcji tangens leżącą pod osią Ox przekształcamy symetrycznie względem tej osi, a otrzymaną krzywą przesuwamy o wektor $[0,1]$ (o 1 w górę).
2. W przedziałach $\begin{gather*}\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\quad\text{oraz}\quad\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}$ część dodatnią wykresu funkcji tangens przekształcamy symetrycznie względem osi Ox, a otrzymaną krzywą przesuwamy o wektor $[0,1]$ (o 1 w górę).
Obliczmy jeszcze
$\begin{split}
f(x)=0\iff &1-\left|\text{tg}x\right|=0\ \ x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\\
&\left|\text{tg}x\right|=1,\ \ x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\\
&\text{tg}x=1\ \ \vee\ \ \text{tg}x=-1,\ \ x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\\
&x=-\frac{5}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=-\frac{3}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{3}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{5}{4}\pi.
\end{split}$

$\begin{split}
f(x)=2\iff & 1+\left|\text{tg}x\right|=2,\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
&\left|\text{tg}x\right|=1,\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
&\text{tg}x=-1\ \ \vee\ \ \text{tg}x=1\\
&x=-\frac{\pi}{4}\ \ \vee\ \ x=\frac{\pi}{4}.
\end{split}$
Szkicujemy wykres:
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   445


Z wykresu odczytujemy:
$\begin{split}
0\leqslant f(x)<2\iff x\in\left\langle -\frac{5}{4}\pi,-\frac{3}{4}\pi\right\rangle\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left\langle \frac{3}{4}\pi,\frac{5}{4}\pi\right\rangle
\end{split}$.

Odpowiedź:

Szkic wykresu funkcji $\begin{gather*}f(x)=\frac{\cos x+|\sin x|}{\cos x}\end{gather*}$ dla $\begin{gather*}x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\end{gather*}:$
   Odpowiedź //. ( pkt.)   445
Z wykresu odczytujemy:
$\begin{split}
0\leqslant f(x)<2\iff x\in\left\langle -\frac{5}{4}\pi,-\frac{3}{4}\pi\right\rangle\cup\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left\langle \frac{3}{4}\pi,\frac{5}{4}\pi\right\rangle
\end{split}$.