REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Równania i nierówności

Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

Dane są funkcje $f(x)=\frac{2x+b}{ax+1}$ oraz $g(x)=\frac{ax+c}{ax+1}$, o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt wspólny $P\left(-9,\frac{11}{13}\right)$, a miejscem zerowym funkcji $g$ jest liczba: $-\frac{5}{3}$. Wyznacz wartości parametrów $a,b,c$.

Podpowiedź:

Rozwiąż układ trzech równań z trzema niewiadomymi $a$, $b$ i $c$:
$\begin{cases}
g(0)=-\frac{5}{3}\\
g(-9)=\frac{11}{3}\\
f(-9)=\frac{11}{3}.
\end{cases}$
REKLAMA

Rozwiązanie:

Miejscem zerowym funkcji $g$ jest liczba: $-\frac{5}{3}$, więc zakładamy , że liczba $-\frac{5}{3}$, należy do dziedziny funkcji, zatem $-\frac{5}{3}a+1\neq0$, czyli $a\neq\frac{3}{5}.$
$\begin{split}
&g\left(-\frac{5}{3}\right)=0\\
&\frac{a\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)+c}{a\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)+1}=0\\
&-\frac{5}{3}a+c=0\\
&c=\frac{5}{3}a.
\end{split}$
Ponieważ punkt $\begin{gather*}\left(-9,\frac{11}{3}\right)\end{gather*}$ należy do wykresu obu funkcji, to liczba $-9$ należy do dziedzin obu funkcji, więc musi być spełniony warunek $-9a+1\neq0$, więc $\begin{gather*}a\neq\frac{1}{9}\end{gather*}$.

$\begin{cases}\begin{gather*}
f(-9)=\frac{11}{3}\\
g(-9)=\frac{11}{3}\end{gather*}
\end{cases}$

$\begin{cases}
\begin{gather*}\frac{2\cdot (-9)+b}{a\cdot (-9)+1}=\frac{11}{3}\\
\frac{a\cdot (-9)+c}{a\cdot (-9)+1}=\frac{11}{3}\end{gather*}\\
\end{cases}$

$\begin{cases}
\begin{gather*}\frac{-18+b}{-9a+1}=\frac{11}{3}\\
\frac{-9a+c}{-9a+1}=\frac{11}{3}\end{gather*}
\end{cases}$

$\begin{cases}\begin{split}
&11(-9a+1)=13(-18+b)\\
&11(-9a+1)=13(-9a+c)
\end{split}\end{cases}$

$\begin{cases}\begin{split}
&-99a+11=-234+13b\\
&-99a+11=-117a+13c
\end{split}\end{cases}$
Do drugiego równania podstawiamy, wcześniej wyliczone, $\begin{split}c=\frac{5}{3}a\end{split}$:
$\begin{split}
-99a+11&=-117a+13\cdot\frac{5}{3}a\\
18a-\frac{65}{3}a&=-11\Big/\cdot 3\\
54a-65a&=-33\\
-11a&=-33\\
a&=3.
\end{split}$
Stąd $\begin{gather*}c=\frac{5}{3}a=\frac{5}{3}\cdot 3=5.\end{gather*}$
Do równania $\begin{gather*}-99a+11=-234+13b\end{gather*}$ podstawiamy $a=3$ i wyliczamy $b$:
$\begin{split}
-99\cdot 3+11&=-234+13b\\
13b&=234+11-297\\
13b&=-52\\
b&=-4.
\end{split}$

Odpowiedź:

$a=3,\ \ b=-4\ \ c=5.$