REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Planimetria

Własności miarowe figur płaskich

Dany jest czworokąt $ABCD$. Niech $S$ będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$.

Podpowiedź:

Osobno udowodnij dwa twierdzenia.
Pierwsze: jeżeli czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg, to $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$,
Drugie: jeżeli $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$, to czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg.
Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe.
Przypomnij sobie również co to są trójkąty podobne i jak wykazać, podobieństwo dwóch trójkątów.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Załóżmy, że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg.
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   429
Rozpatrzmy trójkąty $ASD$ i $BSC$.
Kąty przy wierzchołku $S$ oba trójkąty mają równe, bo są to kąty wierzchołkowe.
Kąty $ADB$ i $ACB$ są równe, bo są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.
Analogicznie, kąty $DAC$ i $DBC$ są również kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, wiec są równe.
Zatem trójkąty $ASD$ i $BSC$ są podobne, bo mają takie same kąty, a stąd
$\begin{split}
\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}.
\end{split}$



Załóżmy teraz, że w czworokącie $ABCD$
$\begin{split}
\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}.
\end{split}$
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   430
Rozpatrzmy trójkąty $ASD$ i $BSC$.
Trójkąty te są podobne, bo mają takie same kąty przy wierzchołku $S$ (kąty wierzchołkowe) oraz, z założenia, stosunki boków zawartych w odpowiednich ramionach tych kątów są równe.
Stąd wniosek, że mają równe wszystkie kąty, więc można zapisać
$|\sphericalangle ADS|=|\sphericalangle BCS|=\alpha$ i $|\sphericalangle DAS|=|\sphericalangle CBS|=\beta$.
Z podobieństwa trójkątów $ASD$ i $BSC$ wynika, że $\begin{split}
\frac{|DS|}{|CS|}=\frac{|AS|}{|BS|}.
\end{split}$ Stąd i z faktu, że trójkąty $ASB$ i $DSC$ mają równe kąty przy wierzchołku $S$ (kąty wierzchołkowe) wynika, że są podobne.
Zatem mają jednakowe kąty, więc zapisujemy $|\sphericalangle ABS|=|\sphericalangle DCS|= \delta$ i $|\sphericalangle BAS|=|\sphericalangle CDS|= \eta$.
Podsumowując
$|\sphericalangle DAB|+|\sphericalangle BCD|=\beta+\eta+\alpha+\delta=|\sphericalangle CDA|+|\sphericalangle ABC|$, co oznacza, że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg.
Wykazaliśmy, że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$.

Odpowiedź:

Wykazaliśmy że czworokąt $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{gather*}\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\end{gather*}$.