REKLAMA
REKLAMA

Matura próbna z matematyki (CEN Bydgoszcz), poziom rozszerzony - luty 2013

Trygonometria

Równania i nierówności trygonometryczne

Rozwiąż równanie $2\cos^2x-2\cos^2x\sin x=1-\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Podpowiedź:

Po lewej stronie równania wyłącz przed nawias $2\cos^2x$, następnie prawą stronę ,,przenieś'' na lewą i ponownie wyłącz przed nawias wspólny czynnik.
Rozwiązania odczytaj z wykresów:
   Wskazówka //. ( pkt.)   428
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
&2\cos^2x-2\cos^2x\sin x=1-\sin x\\
&2\cos^2x\left(1-\sin x\right)-\left(1-\sin x\right)=0\\
&\left(1-\sin x\right)\left(2\cos^2x-1\right)=0\\
&1-\sin x=0\ \ \vee\ \ 2\cos^2x-1=0\\
&\sin x=1\ \ \vee\ \ \cos^2x=\frac{1}{2}\\
&\sin x=1\ \ \vee\ \ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \ \vee\ \ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
&\end{split}$
Z wykresów funkcji sinus i cosinus odczytujemy
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   427

$\begin{gather*}
x=\frac{\pi}{4}\ \ \vee\ \ x=\frac{\pi}{2}\ \ \vee\ \ x=\frac{3}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{5}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{7}{4}\pi
\end{gather*}$

Odpowiedź:

$\begin{gather*}
x=\frac{\pi}{4}\ \ \vee\ \ x=\frac{\pi}{2}\ \ \vee\ \ x=\frac{3}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{5}{4}\pi\ \ \vee\ \ x=\frac{7}{4}\pi
\end{gather*}$