REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2017

Ciągi liczbowe

Granica ciągu

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $\begin{split}a_n=\frac{\left(n^2-10n\right)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}\end{split}$ dla $n\geqslant1$.
Wtedy
A. $\begin{split}\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}\end{split}$
B. $\begin{split}\lim_{n\to\infty}a_n=0\end{split}$
C. $\begin{split}\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\end{split}$
D. $\begin{split}\lim_{n\to\infty}a_n=-\frac{3}{2}\end{split}$

Podpowiedź:

Wykonaj mnożenie w liczniku, a następnie podziel licznik i mianownik ułamka przez $n^3$.
Pamiętaj, że.$\begin{split}\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n^k}=0\end{split}$ , dla każdej liczby a i każdej naturalnej liczby $k\geqslant1$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
\lim_{n\to\infty}a_n=&\lim_{n\to\infty}\frac{\left(n^2-10n\right)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}=\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-3n^3-20n+30n^2}{2n^3+n^2+3}=\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{-3n^3+32n^2-20n}{2n^3+n^2+3}=\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{-3+\frac{32}{n}-\frac{20}{n^2}}{2+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3}}=-\frac{3}{2}.
\end{split}$

Odpowiedź:

D.