Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2017

Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
$x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0$.

Podpowiedź:

Zauważ, że $(xy-2)^2=x^2y^2-4xy+4$
Wzory skróconego mnożenia

Rozwiązanie:

Dowód.
Następujące nierówności są równoważne:
$\begin{align*}
x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4&>0\\
x^2y^2-4xy+4+2\left(x^2-2xy+y^2\right)&>0\\
(xy-2)^2+2(x-y)^2&>0.
\end{align*}$.
Pierwszy składnik lewej strony nierówności jest nieujemny, a drugi dodatni, bo $x\neq y$, zatem nierówność jest prawdziwa dla dowolnych różnych liczb $x$ i $y$.

Odpowiedź:

Twierdzenie udowodniono.