REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Stereometria

Ostrosłupy

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do ramienia jest równy $|AC|:|AS|=6:5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Podpowiedź:

Istnieje taka dodatnia liczba $x$, że $|AC|=6x$ i $|AS|=5x$.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
   Wskazówka //. ( pkt.)   271
Kąt $EFS$ nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy oznaczmy przez $\alpha$.
Z trójkąta $AES$ wyznacz $|ES|$, a z trójkąta $CFS$ wyznacz $|FS|$ (Zauważ, że $FC$ jest połową boku kwadratu o przekątnej $6x$).
$\sin\alpha=\frac{|ES|}{|FS|}$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Istnieje taka dodatnia liczba $x$, że $|AC|=6x$ i $|AS|=5x$.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   271
Kąt $EFS$ nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy oznaczmy przez $\alpha$.

Rozpatrzmy trójkąt $AES$.
$|AE|=\frac{1}{2}|AC|=3x$.
Z twierdzenia Pitagorasa
$\begin{split}
|ES|^2+|AE|^2&=|AS|^2\\
|ES|^2+(3x)^2&=(5x)^2\\
|ES|^2=25x^2-9x^2=16x^2\\
|ES|=4x.
\end{split}$

$AC$ jest przekątną kwadratu o boku $BC$, zatem
$\begin{split}
&|AC|=|BC|\sqrt{2}\\
&|BC|=\frac{|AC}{\sqrt{2}}=\frac{6x}{\sqrt{2}}.
\end{split}$
Stąd $|FC|=\frac{1}{2}|BC|=\frac{3x}{\sqrt{2}}$.

Rozpatrzmy teraz trójkąt $CFS$.
$\begin{split}
|FS|^2+|FC|^2&=|CS|^2 & \quad\left(|CS=|AS|=5x\right)\\
|FS|^2+\left(\frac{3x}{\sqrt{2}}\right)^2&=(5x)^2\\
|FS|^2&=25x^2-\frac{9x^2}{2}\\
|FS|^2&=\frac{50x^2-9x^2}{2}\\
|FS|^2&=\frac{41x^2}{2}\\
|FS|&=\frac{x\sqrt{41}}{\sqrt{2}}\\
\end{split}$
$\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{|ES|}{|FS|}=\frac{4x}{\frac{x\sqrt{41}}{\sqrt{2}}}=4x\cdot \frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{41}}=4\cancel{x}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\cancel{x}\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{82}}{41}.
\end{gather*}$

Odpowiedź:

Sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\begin{gather*}\frac{4\sqrt{82}}{41}\end{gather*}$