REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Geometria analityczna

Równanie okręgu

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2 +2x-2y-3=0$, poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Podpowiedź:

Przekształć równanie danego okręgu:
$\begin{split}
x^2+y^2 +2x-2y-3&=0\\
\left(x+1\right)^2-1+\left(y-1\right)^2-1-3&=0\\
\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5
\end{split}$
Promień okręgu $r=\sqrt{5}$, a środkiem okręgu jest punkt $S=(-1,1)$.
Naszkicuj sytuację
   Wskazówka //. ( pkt.)   268
Wykaż, że trójkąty $ABS$ i $SCA$ są przystające. Kąty $SAB$ i $SAC$ są więc równe. Miarę każdego z nich oznacz przez $\alpha$.
Kąt $\alpha$ łatwo wyznaczysz, obliczając jego sinus i wiedząc, że jest on ostry.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Przekształcimy równanie danego okręgu:
$\begin{split}
x^2+y^2 +2x-2y-3&=0\\
\left(x+1\right)^2-1+\left(y-1\right)^2-1-3&=0\\
\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5
\end{split}$
Promień okręgu $r=\sqrt{5}$, a środkiem okręgu jest punkt $S=(-1,1)$.
Naszkicujmy sytuację
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   268
Trójkąty $ABS$ i $SCA$ są prostokątne, każdy ma jedną przyprostokątną o długości $r$ i mają wspólną przeciwprostokątną $AS$, zatem są przystające. Kąty $SAB$ i $SAC$ są więc równe. Miarę każdego z nich oznaczmy przez $\alpha$.

$\begin{split}
|AS|=\sqrt{(-1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}\\
\sin\alpha=\frac{r}{|AS|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\cancelto{1}{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{split}$

Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, to
$\begin{gather*}\alpha=45^{\circ}\end{gather*}$.
Okazuje się, że
$\begin{gather*}
\left|\sphericalangle BAC\right|=2\alpha=90^{\circ}.
\end{gather*}$

Odpowiedź:

Styczne do danego okręgu poprowadzone przez punkt $A$ są do siebie prostopadłe.