REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Planimetria

Własności miarowe figur płaskich

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $\left|\sphericalangle BAC\right|=30^{\circ}$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Podpowiedź:

Wykonaj rysunek
   Wskazówka //. ( pkt.)   267
Z trójkąta $CEB$ wyznacz $BC$. Następnie zastosuj twierdzenie cosinusów dla trójkąta $ABD$.
Przypomnimy:
$\begin{gather*}\left|AD\right|^2&=\left|AB\right|^2+\left|BD\right|^2-2\left|AB\right|\left|BD\right|\cos\sphericalangle ABD\end{gather*}$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   267
Zgodnie z treścią zadania w trójkącie prostokątnym $CEB$

$\begin{gather*}
&|EB|=\frac{1}{2}|AB|= \frac{1}{2}\cdot 8=4\\
&|\sphericalangle EBC|=|\sphericalangle CAB|=30^{\circ}\\
\end{gather*}$
Stąd

$\begin{split}
\cos\sphericalangle EBC&=\frac{\left|EB\right|}{\left|BC\right|}\\
\cos30^{\circ}&=\frac{4}{\left|BC\right|}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}&=\frac{4}{\left|BC\right|}\\
\left|BC\right|\sqrt{3}&=2\cdot 4\\
\left|BC\right|&=\frac{8}{\sqrt{3}}.
\end{split}$

W trójkącie $ADB$, z treści zadania $\begin{gather*}\left|BD\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\end{gather*}$

Zastosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta $ABD$

$\begin{split}
\left|AD\right|^2&=\left|AB\right|^2+\left|BD\right|^2-2\left|AB\right|\left|BD\right|\cos\sphericalangle ABE\\
\left|AD\right|^2&=8^2+\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2-2\cdot 8\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \cos30^{\circ}\\
\left|AD\right|^2&=64+\frac{16}{3}-16\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\left|AD\right|^2&=64+\frac{16}{3}-16\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\left|AD\right|^2&=64+\frac{16}{3}-32=32+\frac{16}{3}=\frac{2\cdot 16\cdot 3+16}{3}=\frac{7\cdot 16}{3}\\
\left|AD\right|&=\sqrt{\frac{7\cdot 16}{3}}=4\sqrt{\frac{7}{3}}=4\sqrt{\frac{7\cdot 3}{9}}=\frac{4}{3}\sqrt{21}.
\end{split}$

Odpowiedź:

$\begin{gather*}\left|AD\right|=\frac{4}{3}\sqrt{21}\end{gather*}$