REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Trygonometria

Równania i nierówności trygonometryczne

Rozwiąż równanie $2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=1-\cos x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Podpowiedź:

Pierwszy sposób:
podstaw $\sin^2x=1-\cos^2x$.
Drugi sposób:
$\begin{split}
2\sin^2x-2\sin^2x\cos x&=1-\cos x\\
2\sin^2x(1-\cos x)&=1-\cos x\\
2\sin^2x(1-\cos x)-\left(1-\cos x\right)&=0\\
\dots\dots
\end{split}$
REKLAMA

Rozwiązanie:

Ze woru jedynkowego
$\begin{split}
&\sin^2x+\cos^2 x=1\\
&\sin^2x=1-\cos^2x.
\end{split}$

Tę wartość podstawiamy do danego równania
$\begin{split}
2\sin^2x-2\sin^2x\cos x&=1-\cos x\\
2\left(1-\cos^2x\right)-2\left(1-\cos^2x\right)\cos x&=1-\cos x\\
2-2\cos^2x-2\cos x+2\cos^3x&=1-\cos x\\
2\cos^3x-2\cos^2x-\cos x+1&=0\\
2\cos^2x\left(\cos x-1\right)-\left(\cos x-1\right)&=0\\
\left(\cos x-1\right)\left(2\cos^2x-1\right)&=0\\
\cos x-1=0\quad&\vee\quad2\cos^2x-1=0\\
\cos x=1\quad&\vee\quad2\cos^2x=1\\
&\quad\cos^2x=\frac{1}{2}\\
&\quad\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\vee\quad \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{split}$
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   266

$x=0\ \vee\ x=2\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{4}\ \vee\ x=\frac{7}{4}\pi\ \vee\ x=\frac{3}{4}\pi\ \vee\ x=\frac{5}{4}\pi$.

Odpowiedź:

$x=0\ \vee\ x=2\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{4}\ \vee\ x=\frac{7}{4}\pi\ \vee\ x=\frac{3}{4}\pi\ \vee\ x=\frac{5}{4}\pi$.