REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Ciągi liczbowe

Ciągi arytmetyczny i geometryczny

O ciągu $\left(x_n\right)$ dla $n\geqslant 1$ wiadomo,że:
a) ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem $\begin{gather*}a_n=3^{x_n}\end{gather*}$, dla $n\geqslant 1$ jest geometryczny o ilorazie $q=27$.
b) $x_1+x_2+\dots+x_{10} =145$.
Oblicz $x_1$.

Podpowiedź:

Skorzystaj ze wzoru $\begin{gather*}\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\end{gather*}$, a z równości $\begin{gather*}\frac{a_{n+1}}{a_n}=27\end{gather*}$ wyniknie, że ciąg $\begin{gather*}\left(x_n\right)\end{gather*}$ jest arytmetyczny.
Dalej skorzystaj ze wzoru na sumę $n-$początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $\begin{gather*}x_1+x_2+\dots+x_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\end{gather*}$ oraz ze wzoru $\begin{gather*}a_n=a_1+\left(n-1\right)r\end{gather*}$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
\frac{a_{n+1}}{a_n}&=27,\text{ dla }n\geqslant 1.\\
\frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_n}}&=27\\
3^{x_{n+1}-x_n}&=3^3\\
x_{n+1}-x_n&=3,\text{ dla }n\geqslant 1.
\end{split}$
Jak widać ciąg $\left(x_n\right)$ jest arytmetyczny i ma różnicę $r=3$.
Zatem

$\begin{split}
x_1+x_2+\dots+x_{10} &=145\\
\frac{x_1+x_{10}}{2}\cdot 10&=145\\
\left(x_1+x_{10}\right)\cdot 5&=145\Big/:5\\
x_1+x_{10}&=29\\
x_1+x_1+9r&=29\\
2x_1+9\cdot 3&=29\\
2x_1+27&=29\\
2x_1&=2\Big/:2\\
x_1&=1
\end{split}$

Odpowiedź:

$x_1=1$