REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Równania i nierówności

Równania i nierówności kwadratowe

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2 +m-2=0 $ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,x_2$ takie, że $\left(x_1-x_2\right)^2<8(m+1).$

Podpowiedź:

Muszą być jednocześnie spełnione dwa warunki
$\begin{gather*}\begin{cases}
\Delta>0\\
\left(x_1-x_2\right)^2<8(m+1).
\end{cases}\end{gather*}$
Przekształć drugi warunek wiedząc, że $\begin{gather*}\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\end{gather*}$, następnie zastosuj wzory $Vi\acute{e}t'a$: $\begin{split}x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ \ \ x_1x_2=\frac{c}{a}.\end{split}$.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2 +m-2=0 $ jest równaniem kwadratowym. Oznaczmy współczynniki trójmianu występującego po lewej stronie równości przez:
$a=1, b=-4m, c=-m^3+6m^2+m-2.$
Żeby równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2 +m-2=0 $ miało dwa różne pierwiastki, to musi być spełniony warunek $\Delta >0$.

$\begin{split}
\Delta&>0\\
b^2-4ac&>0\\
(-4m)^2-4\cdot 1\cdot \left(-m^3+6m^2+m-2\right)&>0\\
16m^2+4m^3-24m^2-4m+8&>0\\
4m^3-8m^2-4m+8&>0\Big/:4\\
m^3-2m^2-m+2&>0\\
m^2(m-2)-(m-2)&>0\\
(m-2)\left(m^2-1\right)&>0\\
(m-2)(m-1)(m+1)&>0
\end{split}$
Rozwiązanie nierówności odczytujemy z tabelki (siatki znaków):
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   263
$\Delta>0\Leftrightarrow m\in(-1,1)\cup(2,+\infty)$.

Rozpatrzmy warunek nałożony na dwa różne pierwiastki danego równania. Posłużymy się wzorami $\ \ Vi\acute{e}t'a$: $\begin{split}x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \ \ \ x_1x_2=\frac{c}{a}.\end{split}$

$\begin{split}
\left(x_1-x_2\right)^2&<8(m+1)\\
x_1^2-2x_1x_2+x_2^2&<8(m+1)\\
x_1^2-2x_1x_2+x_2^2&<8(m+1)\\
x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2&<8(m+1)\\
\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2&<8(m+1)\\
\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\cdot \frac{c}{a}&<8(m+1)\\
16m^2-4\left(-m^3+6m^2+m-2\right)&<8(m+1)\\
16m^2+4m^3-24m^2-4m+8&<8m+8\\
4m^3-8m^2-12m&<0\Big/:4\\
m^3-2m^2-3m&<0\\
m\left(m^2-2m-3\right)&<0
\end{split}$
Obliczmy wyróżnik $\Delta_1$ trójmianu kwadratowego $m^2-2m-3$ i wyznaczmy pierwiastki tego trójmianu.
$\begin{split}
\Delta_1=4+12=16\\
m_1=\frac{2-\sqrt{16}}{2}=-1, \ \ m_2=\frac{2+\sqrt{16}}{2}=3.
\end{split}$
Powracając do nierówności otrzymujemy
m(m+1)(m-3)<0
Posłużymy się siatką znaków:
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   264
$\begin{split}
m(m+1)(m-3)<0&\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,-1\right)\cup(0,3)\\
\left(x_1-x_2\right)^2<8(m+1)&\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,-1\right)\cup(0,3).
\end{split}$

Oba warunki $\Delta>0$ i $\left(x_1-x_2\right)^2<8(m+1)$ są spełnione jednocześnie, gdy
$\begin{split}
m\in(-1,1)\cup(2,+\infty)\quad&\wedge\quad m\in\left(-\infty,-1\right)\cup(0,3)\\
\end{split}$
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   265
$m\in(0,1)\cup(2,3).$

Odpowiedź:

$m\in(0,1)\cup(2,3).$