REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Liczby rzeczywiste

Obliczenia na liczbach rzeczywistych

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,a\neq c, b\neq c \text{ i }a+b=2c,$ to $\begin{gather*}\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2.\end{gather*}$

Podpowiedź:

Do lewej strony dowodzonej równości, podstaw $\begin{gather*}c=\frac{a+b}{2}\end{gather*}$, wyliczone z założenia.
REKLAMA

Rozwiązanie:

Przy danych założeniach $\begin{gather*}c=\frac{a+b}{2}\end{gather*}$.
Stąd
$\begin{split}
\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=\frac{a}{a-\frac{a+b}{2}}+\frac{b}{b-\frac{a+b}{2}}=\\
=\frac{2a}{2a-(a+b)}+\frac{2b}{2b-(a+b)}=\frac{2a}{a-b}+\frac{2b}{b-a}=\\
=\frac{2a}{a-b}-\frac{2b}{a-b}=\frac{2a-2b}{a-b}=\frac{2(a-b)}{a-b}=2,
\end{split}$
co należało uzasadnić.

Odpowiedź:

Równość $\begin{gather*}\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2\end{gather*}$ jest prawdziwa przy danych założeniach, co widać po podstawieniu $\begin{gather*}c=\frac{a+b}{2}\end{gather*}$, wyliczonego z założenia.