REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2011

Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2 $ jest podzielna przez 36.

Podpowiedź:

Wyłącz $k^2$ przed nawias i skorzystaj kolejno ze wzorów skróconego mnożenia $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Pamiętaj również, że $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.
Pokaż, że liczba $k^6-2k^4+k^2$ jest zawsze kwadratem iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych, a stąd już łatwo wywnioskować, że jest podzielna przez 36.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
k^6-2k^4+k^2 =k^2\left(k^4-2k^2 +1\right)= k^2\left(k^2-1\right)^2&=\\
=k^2\left[\left(k-1\right)\left(k+1\right)\right]^2=\left[\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\right]^2
\end{split}$
Widać, że liczba $k^6-2k^4+k^2$jest kwadratem iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych. Zakładam, że wszystkie są różne od zera, bo jeżeli nie, to ich iloczyn jest równy zero, więc liczba $k^6-2k^4+k^2=0$ i jest podzielna przez 36.
Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze co najmniej jedna jest podzielna przez 2 i co najmniej jedna jest podzielna przez 3.
Czyli jedna spośród liczb $k-1,k,k+1$ ma postać $2p$, jedna $3r$ i pozostaje trzecia, oznaczmy ją przez $q$. Oczywiście liczby $p,q,r$ są całkowite. Mamy zatem:
$\begin{split}
k^6-2k^4+k^2=\left[\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\right]^2=\left(2p\cdot 3r\cdot q\right)^2=4p^2\cdot 9r^2\cdot q^2=36p^2r^2q^2=36t
\end{split}$, gdzie $t=p^2r^2q^2$ jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

Liczba $k^6-2k^4+k^2$ jest podzielna przez 36, bo $k^6-2k^4+k^2=36t$, gdzie $t$ jest liczbą całkowitą.