REKLAMA
REKLAMA

Trochę rachunków

Trochę rachunków


Rozwiążmy następujące zadanie.
Zadanie (Próbna matura, Operon 2017).
Liczba $a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}$ należy do przedziału
A. $(-\infty,-13)$
B. $\langle-13,-12)$
C. $(12,13\rangle$
D. $(13,+\infty)$
Rozwiązanie.
Najpierw usuwamy niewymierność z mianownika ułamka $a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}$. W tym celu mnożymy licznik i mianownik ułamka przez $\sqrt{2}+3$ i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
$\begin{split}
a&=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\cdot \frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}=\frac{14\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+3\right)}{2-9}=\\
&=\frac{14\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+3\right)}{-7}=-2\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+3\right)=\\
&=-2\left(2+3\sqrt{2}\right)=-4-6\sqrt{2}\approx-12,49\in\langle-13,-12).
\end{split}$
Odpowiedź B. jest poprawna.
Wartość wyrażenia $-4-6\sqrt{2}$ można oszacować bez użycia kalkulatora.
Każdy wie, że $\sqrt{2}\approx1,41$. Mamy zatem:
$\begin{gather*}
1,4<\sqrt{2}<1,5\Big/\cdot (-6)\\
-8,4>-6\sqrt{2}>-9\\
-4-8,4>-4-6\sqrt{2}>-4-9\\
-12,4>-4-6\sqrt{2}>-13,
\end{gather*}$
Stąd $-4-6\sqrt{2}\in\langle-13,-12)$.
Pozdrawiam
Tadeusz