REKLAMA
REKLAMA

Słów kilka o geometrii analitycznej

Słów kilka o geometrii analitycznej

Geometria analityczna jest działem matematyki, w którym bada się figury geometryczne metodami obliczeniowymi, czyli analitycznymi. Jest to możliwe, bo już w XVII wieku, Kartezjusz zauważył, że punkty na płaszczyźnie można zastępować parami liczb, a figury geometryczne równaniami, nierównościami, układami równań lub nierówności. Taka jest, w skrócie idea geometrii analitycznej. Rozwiązując zadania z tego działu, rysunki tworzymy tylko dla jasności rozważań, a wszystko co potrzebne po prostu wyliczamy.
Zadanie, które dzisiaj zaproponuję, pochodzi z czerwca 2017r., z matury na poziomie rozszerzonym. W tym miejscu gorąco zachęcam tych, którzy będą zdawać maturę w zakresie podstawowym, żeby również spróbowali to zadanie przeanalizować - macie niezbędną wiedzę, żeby to zrobić.
Zadanie.
Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym $36$. Wyznacz równanie prostej $l$.
Rozwiązanie.
Dana prosta $l$ nie jest równoległa do osi rzędnych, więc ma równanie kierunkowe $y=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami. Ponadto wiadomo, że przechodzi przez punkt $P=(8,2)$, więc prawdziwe jest równanie
$\begin{split}
2&=8a+b\\
b&=2-8a
\end{split}$
Istnieje zatem pewna liczba $a$ taka, że równanie prostej $l$ ma postać $y=ax+2-8a$.
Prosta $l$ przecina dodatnie półosie układu współrzędnych, więc musi tworzyć z osią $Ox$ kąt rozwarty, zatem jej współczynnik kierunkowy $a<0$.
Przedstawiamy sytuację na rysunku i przyjmujemy oznaczenia zgodne z rysunkiem:
   Aktualności //. ( pkt.)   728
Pole trójkąta $ABO$, przy tych oznaczeniach jest równe $\frac{1}{2}x_0\cdot y_0$.
Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej $y=ax+2-8a$, zatem $y_0=2-8a$ oraz $ax_0+2-8a=0$. Stąd $x_0=8-\frac{2}{a}$.
Ponieważ pole trójkąta jest równe 36, otrzymujemy równanie:
$\begin{split}
\frac{1}{2}x_0\cdot y_0&=36\\
\frac{1}{2}\left(8-\frac{2}{a}\right)\left(2-8a\right)&=36\\
\frac{1}{2}\left(16-64a-\frac{4}{a}+16\right)&=36\\
2\left(4-16a-\frac{1}{a}+4\right)&=36\\
-16a+8-\frac{1}{a}&=18\\
-16a-10-\frac{1}{a}&=0\Big/\cdot (- a)\\
16a^2+10a+1&=0\\
\Delta=100-64=36, \ \sqrt{\Delta}=6&\\
a=\frac{-10-6}{2\cdot 16}=-\frac{1}{2}\ \ &\vee\ \ a=\frac{-10+6}{2\cdot 16}=-\frac{1}{8}.
\end{split}$
Warunki zadania spełniają zatem dwie proste:
$\begin{split}
y=-\frac{1}{2}x+2-8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)&&&\ \ \text{ oraz prosta } \ &y&=-\frac{1}{8}x+2-8\cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \\
y=-\frac{1}{2}x+6&&& &y&=-\frac{1}{8}x+3.
\end{split}$
Odpowiedź.
Warunki zadania spełniają dwie proste:
$y=-\frac{1}{2}x+6$ oraz prosta $y=-\frac{1}{8}x+3$
Życzę sukcesów nie tylko matematycznych w Nowym Roku 2018!
Tadeusz.