REKLAMA
REKLAMA

Proste i ich równania

Proste i ich równania

Wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta. Jednak nie wszystkie proste są wykresami funkcji liniowych. Proste równoległe do osi rzędnych $(Oy)$ nie są wykresami żadnych funkcji. Te proste (równoległe do osi rzędnych), mają równanie $x=p$, dla pewnej liczby $p\in\mathbb{R}$. Wszystkie punkty leżące na prostej równoległej do osi $Oy$ mają taką samą odciętą (pierwszą współrzędną).
Równania wszystkich pozostałych prostych (tych, które nie są równolegle do osi rzędnych) można zapisać w postaci kierunkowej $y=ax+b$, dla pewnych $a,b\in\mathbb{R}$.
Liczba $a$ w równaniu kierunkowym jest ściśle związana z kierunkiem prostej (stąd nazwa - współczynnik kierunkowy), a liczba $b$ jest rzędną punktu przecięcia prostej z osią rzędnych, popatrz na rysunek:
   Aktualności //. ( pkt.)   733
Rozpatrzmy dwie proste.
Prostą $k $ o równaniu $y=ax+b$ oraz prostą $l$ o równaniu $y=mx+n$.
Proste $k$ i $l$ są równolegle, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe: $a=m$.
Proste $k$ i $l$ są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek : $a\cdot m=-1$.
Teraz jesteśmy gotowi do rozwiązania zadania (Matura próbna, Operon , listopad 2017).
Zadanie
Prosta $l$ przechodzi przez punkty $A=(6,-7)$, $B=(-10,3)$. Prosta $k$ jest symetralną odcinka $AB$. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ jest równy:
A. $-\frac{8}{5}$
B. $\frac{8}{5}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $-\frac{5}{8}$
Rozwiązanie.
Przyjmujemy, że prosta $l$ ma równanie $y=ax+b$, dla pewnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$.
Do prostej $l$ należą punkty $A=(6,-7)$ i $B=(-10,3)$, zatem współrzędne tych punktów spełniają równanie $y=ax+b:$
$\begin{split}
\begin{cases}
-7=6a+b\\
3=-10a+b.
\end{cases}
\end{split}$
Odejmujemy te równania stronami i otrzymujemy równanie:
$\begin{split}-10&=16a\\
a&=-\frac{10}{16}=-\frac{5}{8}\end{split}$
Otrzymujemy współczynnik kierunkowy prostej $l$.
Proste $l$ i $k$ są prostopadłe, bo $k $ jest symetralną odcinka $AB$. Przyjmujemy, że $m$ jest współczynnikiem kierunkowym prostej $k$. Wtedy spełniony jest warunek
$\begin{split}
a\cdot m&=-1\\
-\frac{5}{8}\cdot m&=-1\\
m&=\frac{8}{5}.
\end{split}$
Odpowiedź.
Poprawna jest odpowiedź B.
Myślę, że to zadanie nie sprawiło Wam trudności.
Tadeusz