REKLAMA
REKLAMA

Nie za trudne zadanie z rachunku różniczkowego

Nie za trudne zadanie z rachunku różniczkowego

Proponuję Wam pod rozwagę zadanie, którego rozwiązanie staje się bardzo proste, gdy użyjemy doskonałego wręcz narzędzia - pochodnej funkcji.
Przypomnę tylko, że jeżeli pochodna $f'(x)$ funkcji $f$ jest w każdym punkcie $x$ pewnego przedziału dodatnia, to funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca.
Zadanie
Udowodnij, że równanie $2x^3+3x^2+6x-1=0$ ma w przedziale $(0,1)$ dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono jedynym rozwiązaniem tego równania.
Rozwiązanie.
Rozpatrzmy funkcję $f$ określoną wzorem $f(x)=2x^3+3x^2+6x-1$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$.
Funkcja $f$ jest różniczkowalna, a jej pochodna $f'(x)=6x^2+6x+6$ jest funkcją kwadratową.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $6x^2+6x+6.$
$\begin{split}
\Delta&=6^2-4\cdot 6\cdot 6=36-144=-108.
\end{split}$
Wynika stąd, że pochodna $f'$ funkcji $f$ jest dodatnia w całym zbiorze liczb rzeczywistych, więc funkcja $f$ jest w zbiorze liczb rzeczywistych rosnąca.
Ponadto $f(0)=-1<0$, natomiast $f(1)=2+3+6-1=10>0.$ Funkcja $f$ jest ciągła (wszystkie wielomiany są funkcjami ciągłymi), więc w przedziale $(0,1)$ istnieje taki punkt $x_0$, że $f\left(x_0\right)=0$ i $x_0$ jest jedynym miejscem zerowym funkcji $f$, czyli jedynym rozwiązaniem równania $2x^3+3x^2+6x-1=0$.
c.b.d.o.
Rachunek różniczkowy ma zastosowania nie tylko w matematyce, ale również w fizyce, technice, ekonomii i w innych dziedzinach. Wielu z Was ponownie spotka się z pochodną funkcji i jej zastosowaniami w październiku, gdy będziecie już studentami, czego wszystkim szczerze życzę.
Tadeusz