REKLAMA
REKLAMA

Matematyka na poziomie rozszerzonym - jedno ciekawe zadanie z rachunku różniczkowego

Matematyka na poziomie rozszerzonym - jedno zadanie z rachunku różniczkowego

Zadanie
Na kuli opisano stożek, o najmniejszej objętości. Oblicz stosunek pola powierzchni tego stożka do pola powierzchni kuli.
Rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia takie, jak na rysunku przekroju osiowego obu brył
   Aktualności //. ( pkt.)   673
$x=|OC|$, $x\in(R,+\infty)$
$l=|BC|$
Trójkąty $CEB$ i $CDO$ są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny jeden z kątów ostrych).
Stąd
$\begin{split}
\frac{R}{x}&=\frac{r}{l}\\
l&=\frac{rx}{R}.
\end{split}$
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CEB$
$\begin{split}r^2+(R+x)^2=l^2.\end{split}$
Podstawiamy $l=\frac{rx}{R}$ i wyznaczamy $r$ w zależności od $x$, przy ustalonym promieniu kuli $R$:
$\begin{split}
r^2+(R+x)^2&=\left(\frac{rx}{R}\right)^2\\
r^2-\left(\frac{rx}{R}\right)^2&=-(R+x)^2\\
r^2-\frac{r^2x^2}{R^2}&=-(R+x)^2\\
\frac{R^2r^2-r^2x^2}{R^2}&=-(R+x)^2\\
r^2\frac{R^2-x^2}{R^2}&=-(R+x)^2\\
r^2\frac{x^2-R^2}{R^2}&=(R+x)^2\\
r^2\frac{(x-R)(x+R)}{R^2}&=(R+x)^2\\
r^2&=(R+x)^2\cdot\frac{R^2}{(x-R)(x+R)}\\
r^2&=\frac{R^2(R+x)}{(x-R)}\\
\end{split}$
Wyrażamy objętość stożka jako funkcję zmiennej $x$, gdzie $x\in(R,+\infty)$:
$\begin{split}
V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2(R+x)=\frac{1}{3}\pi \frac{R^2(R+x)}{(x-R)}(R+x)=\\
=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{(x+R)^2}{x-R}=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{x^2+2Rx+R^2}{x-R}.
\end{split}$
Wyznaczamy pochodną funkcji $V$:
$\begin{split}
V'(x)=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{(2x+2R)(x-R)-(x+R)^2}{(x-R)^2}=\\
=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{2(x+R)(x-R)-(x+R)^2}{(x-R)^2}\\
=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{(x+R)(2x-2R-x-R)}{(x-R)^2}=\\
=\frac{1}{3}\pi R^2\frac{(x+R)(x-3R)}{(x-R)^2}
\end{split}$
$\begin{split}
V'(x)=0\iff &x-3R=0 \quad (x>R)\\
&x=3R.
\end{split}$
Badamy, czy pochodna zmienia znak w punkcie $x=3R$. Ponieważ $x+R>0$ oraz $x-R>0$, przy założeniu, że $x>R$, otrzymujemy:
$\begin{split}
V'(x)<0\iff x-3R<0\quad\wedge\quad V'(x)>0\iff x-3R>0\\
V'(x)<0\iff x<3R\quad\wedge\quad V'(x)>0\iff x>3R\\
\end{split}$
Pochodna funkcji $V$ ma miejsce zerowe $x=3R$ i zmienia w tym miejscu znak z ujemnego na dodatni, zatem funkcja $V$ osiąga minimum dla $x=3R$.
Objętość stożka jest najmniejsza, gdy $x=3R$.
W tym przypadku:
$\begin{split}
r^2=\frac{R^2(R+x)}{(x-R)}=\frac{R^2(R+3R)}{(3R-R)}=\frac{4R^3}{2R}=2R^2\\
r=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}.\\
l=\frac{rx}{R}=\frac{R\sqrt{2}\cdot 3R}{R}=3R\sqrt{2}
\end{split}$
Obliczamy stosunek pola powierzchni stożka, do pola powierzchni kuli:
$\begin{split}
\frac{P_s}{P_k}=\frac{\pi r(r+l)}{4\pi R^2}=\frac{\pi R\sqrt{2}(R\sqrt{2}+3R\sqrt{2})}{4\pi R^2}=\\
=\frac{8\pi R^2}{4\pi R^2}=2.
\end{split}$
Odpowiedź
Stosunek pola powierzchni stożka o najmniejszej objętości, opisanego na kuli, do pola powierzchni tej kuli, jest równy 2.
Powodzenia we wtorek!