REKLAMA
REKLAMA

Logarytmy nie są trudne

Logarytmy nie są trudne

Tak właśnie sądzę. Rzecz w tym, żeby dobrze je rozumieć.
Zapamiętaj. Gdy pytają Cię ile jest równy $\log_ab$, to tak jak by pytali: do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę $a$, żeby otrzymać liczbę $b$?
Np.:
$\begin{split}
\log_28=3,\ &\text{ bo }2^3=8,\\
\log_{27}3=\frac{1}{3},\ &\text{ bo }3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3,\\
\log_4\frac{1}{16}=-2,\ &\text{ bo }4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}.
\end{split}$
Nie zawsze jest aż tak łatwo, bo ile jest równy $\log_927$? Czyli do jakiej potęgi trzeba podnieść 9, żeby otrzymać 27? Nie wiesz, to napisz, że $\log_927=x$.
Mamy wtedy
$\begin{split}
9^x=27,
\end{split}$
ale zarówno liczba 9, jak i liczba 27, są potęgami liczby 3, zatem
$\begin{split}
\left(3^2\right)^x=3^3\\
3^{2x}=3^3.
\end{split}$
Jeżeli dwie równe potęgi mają takie same podstawy, to również wykładniki mają równe, czyli
$\begin{split}
2x&=3\\
x&=\frac{3}{2}.
\end{split}$
W ten sposób ustaliliśmy, że $\log_927=\frac{3}{2}.$
Rozwiążmy teraz zadanie z próbnej matury (Operon listopad 2017):
Zadanie.
Liczba $\log_2\frac{1}{\sqrt{8}}$ jest równa
A. $-\frac{3}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $-\frac{1}{3}$
Rozwiązanie.
$\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{8}}=\left(\sqrt{8}\right)^{-1}=\left(\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=2^{3\cdot \frac{1}{2}\cdot (-1)}=2^{-\frac{3}{2}},
\end{split}$
stąd
$\begin{split}
\log_2\frac{1}{\sqrt{8}}=\log_22^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}.
\end{split}$
Odpowiedź.
Poprawna jest odpowiedź A.

Pozdrawiam wszystkich
Tadeusz