REKLAMA
REKLAMA

Kilka zdań o ciągach liczbowych

Kilka zdań o ciągach liczbowych

O ciągach liczbowych można mówić bardzo wiele - dzisiaj powiem tylko kilka niezbędnych słów, żeby ze zrozumieniem rozwiązać jedno proste zadanie.
Ciąg jest to funkcja, która każdej liczbie naturalnej dodatniej $n$, przyporządkowuje liczbę $a_n$. Tak określony ciąg nazywamy ciągiem liczbowym nieskończonym.
Jeżeli każdej liczbie $n$ z pewnego skończonego zbioru początkowych liczb naturalnych przyporządkujemy liczbę $a_n$, to mówimy, że ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$ jest skończony.
Ciąg $\left(a_n\right)$ można określić przy pomocy wzoru, który pozwala obliczyć $a_n$ dla dowolnego $n$. Taki wzór nazywa się wyrazem ogólnym ciągu. Wzór $a_n=n^2+n-3$, określa pewien ciąg. Możemy obliczyć każdy wyraz tego ciągu. Np. $a_1=1^2+1-3=-1$, natomiast $a_3= 3^2+3-3=9$.
Niektóre ciągi nazywamy arytmetycznymi. W ciągu arytmetycznym różnica między dowolnym wyrazem i wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest zawsze taka sama. Nazywamy ją różnicą ciągu arytmetycznego.
Zgodzicie się, że powiedziałem bardzo mało na temat ciągów, ale to wystarczy do rozwiązania następującego zadania:
Zadanie. [Próbna matura, OPERON, listopad 2017]
Dany jest ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{2n+1}{n+3}$. Liczby $a_3$, $a_5$ są wyrazami tego ciągu, a liczby $(a_3,x,a_5)$ tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba $x$ jest równa:
A. $x=\frac{61}{48}$
B. $x=\frac{61}{96}$
C. $x=\frac{69}{96}$
D. $x=\frac{69}{48}$
Rozwiązanie.
Obliczamy kolejno $a_3$ i $a_5$:
$\begin{split}
a_3&=\frac{2\cdot 3+1}{3+3}=\frac{7}{6},\\
a_5&=\frac{2\cdot 5+1}{5+3}=\frac{11}{8}.
\end{split}$
Trójwyrazowy ciąg arytmetyczny $(a_3,x,a_5)$ przyjmuje postać $\left(\frac{7}{6},x,\frac{11}{8}\right)$.
Z definicji ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie:
$\begin{split}
x-\frac{7}{6}&=\frac{11}{8}-x\\
2x&=\frac{11}{8}+\frac{7}{6}\Big/:2\\
x&=\frac{11}{16}+\frac{7}{12}\\
x&=\frac{33}{48}+\frac{28}{48}\\
x&=\frac{61}{48}.
\end{split}$
Odpowiedź.
Poprawna jest odpowiedź A.
Tyle na dzisiaj. Do ciągów wrócimy jeszcze wiele razy.
Życzę wytrwałości w rozwiązywaniu zadań
Tadeusz